[論文レビュー] Sharp moment and exponential tail estimates for U-statistics

Eugeny Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マルティングール表現とグランド・ルベーグ空間を用いて、U統計量の鋭い非漸近的モーメントおよび指数的尾部推定値を確立する。正規化されたU統計量のモーメントおよび尾部挙動が、核の $ G\tilde{\rho}_d $ におけるノルムを含む要因によって有界であることを示し、核に指数的モーメントが存在しない場合でさえ、乗法的定数の意味で最適であることを証明する。

ABSTRACT

We obtain in this paper a non-asymptotic non-improvable up to multiplicative constant moment and exponential tail estimates for distribution for U-statistics by means of martingale representation. We show also the exactness of obtained estimations in one way or another by providing appropriate examples.

研究の動機と目的

• 乗法的定数の意味で最適な、非漸近的かつ鋭いU統計量のモーメントおよび尾部推定値を導出すること。
• 古典的なクラメール条件（指数的モーメントが存在しない）を満たさない場合のモーメントおよび尾部推定値を拡張すること。
• 明示的な反例および構成を用いて、推定値の正確性を確立すること。
• U統計量の尾部挙動を核のグランド・ルベーグノルムに関連づけ、弱い尾部仮定に基づく推定値を可能にすること。
• 導出された推定値が、最小限のモーメント条件のもとでも一般に改善不能であることを示すこと。

提案手法

• U統計量のマルティングール表現を用い、ランク $ r \leq m \leq d $ でインデックス付けされたマルティングール差の和に分解する。
• 特にオセコフスキーの研究から導かれた、マルティングールのモーメント不等式を適用し、正規化されたU統計量の $ L^p $ ノルムを有界化する。
• グランド・ルベーグ空間 $ G\psi $ フレームワークを用いて、核 $ \Phi $ の尾部挙動を特徴づけ、指数的でないおよび弱く重い尾部を持つ分布を扱えるようにする。
• キーとなる不等式 $ \left| \frac{U(n)}{\sigma(n)} \right|_p \leq C(d,r) \left( \frac{p}{\log p} \right)^d |\Phi|_p $ を導出し、U統計量の $ L^p $ ノルムと核のそれとの関係を結ぶ。
• 特に $ \psi $-関数の逆関数を用いた、モーメントと尾部関数の双対性により、$ L^p $ ノルムの有界性を尾部推定値に翻訳する。
• 例を用いて、推定値が鋭いことを示し、$ \Phi $ が多項式的または対数的尾部減衰を示す場合を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的定数の意味で最適な、非漸近的かつ鋭いモーメント推定値をU統計量に対して導出可能か？
• RQ2 U統計量の尾部挙動およびモーメントは、核 $ \Phi $ の尾部特性にどのように依存するか。特に $ \Phi $ が指数的モーメントを持たない場合に。
• RQ3 導出された推定値 $ \left| \frac{U(n)}{\sigma(n)} \right|_p \leq C(d,r) \left( \frac{p}{\log p} \right)^d |\Phi|_p $ は最適であり、反例によって証明可能か？
• RQ4 正規化されたU統計量の尾部推定値を、高次モーメント仮定を必要とせずに、核 $ \Phi $ の尾部関数の直接的な関数として表現可能か？
• RQ5 核 $ \Phi $ がグランド・ルベーグ空間 $ G\psi $ に属する場合、推定値はどの程度鋭いまま保たれるか。また、これはオリチツ型の尾部推定値とどのように関連するか？

主な発見

• 本稿は、$ p \geq 2 $ に対して鋭い推定値 $ \left| \frac{U(n)}{\sigma(n)} \right|_p \leq C(d,r) \left( \frac{p}{\log p} \right)^d |\Phi|_p $ を確立し、以前の $ p^d / \log p $ 依存性を改善する。
• 核の尾部 $ T_\Phi(x) \leq \exp(-C_5 x^m \log^{-mr}x) $ から、尾部推定値 $ \sup_n T_{U(n)/\sigma(n)}(x) \leq \exp\left( -C_8 x^{m/(1+dm)} \log^{-m(r-d)/(1+dm)} x \right) $ を導出し、弱い尾部の伝播を示す。
• 核が $ G\psi $ に属し、$ \psi(p) = \exp(C_3 p^\beta) $ である場合、推定値 $ \sup_n T_{U(n)/\sigma(n)}(x) \leq \exp(-C_{13} [\ln(1+x)]^{1+1/\beta}) $ が非改善可能であることを示す。
• 推定値 $ \sup_n \| U(n)/\sigma(n) \|_{G\psi_d} \leq C(d,r) \| \Phi \|_{G\psi} $ を証明し、グランド・ルベーグ空間における核とU統計量のノルムの直接的な関連を確立する。
• 著者らは、$ U(n)/\sigma(n) $ の尾部減衰が導出された上界と一致する反例を構築することで、推定値が最適であることを示し、非改善性を証明する。
• 結果 $ \| U(n) \|_{G\psi_d} \asymp \sigma(n) \asymp \| U(n) \|_{L^{(M_d)}} $ は、異なる関数空間におけるノルムの整合性を確認し、フレームワークの妥当性を裏付ける。