[論文レビュー] Sheafification of linear functors

Fabio Tonini|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、射影的スキーム上の分離型モジュールの古典的層化と群スキームのタンナカ双対性を統一する一般化された層化ファンクターを導入する。Yoneda型ファンクター $Ω^*$ に左随伴となる層化ファンクターを構成し、解体的性質を満たす条件の下で全忠実性および本質的像の特徴づけを証明する。

ABSTRACT

We introduce ``sheafification'' functors from categories of (lax monoidal) linear functors to categories of quasi-coherent sheaves (of algebras) of stacks. They generalize the homogeneous sheafification of graded modules for projective schemes.

研究の動機と目的

• 射影的スキーム上の分離型モジュールの古典的層化と群スキームのタンナカ双対性を、共通の枠組みで統一すること。
• Yonedaファンクター $Ω^*$ に左随伴としての層化ファンクターを定義し、分離型モジュールの同次層化を一般化すること。
• $Ω^*$ が全忠実であり、左随伴をもつ条件を確立すること。
• スタックが解体的性質をもつとき、$Ω^*$ の本質的像を左完全ファンクターとして特徴づけること。
• タンナカ双対性の文脈において、準連接層の代数と lax モノイダルファンクターの対応を、射影的場合を越えて拡張すること。

提案手法

• 固定された層の圏 $\mathcal{C}$ に対して、ファンクター $Ω^*:\operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A) \to \textup{L}_R(\mathcal{C},A)$ を定義し、各層 $\mathcal{F}$ に対して $\mathcal{E} \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{X}}(\pi^*\mathcal{E}, \mathcal{F})$ を割り当てる。
• $\mathcal{C}$ が本質的に小であるとき、$\u03a9^*$ に左随伴となる層化ファンクター $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}:\textup{L}_R(\mathcal{C},A) \to \operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A)$ を構成する。
• $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}$ が全忠実であり、かつ $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}} \circ \u03a9^*$ が $\operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A)$ 上で恒等関手と同型であることを証明し、古典的層化を一般化する。
• Yoneda構成を介して、$\mathcal{X}$ 上の準連接層の代数と lax モノイダルファンクターの間の対応を確立する。
• $\mathcal{X} = \operatorname{B}_R G$ の解体的性質を用いて、$\u03a9^*$ が $\operatorname{QAlg}^G A$ から $\operatorname{ML}_R(\mathcal{C},A)$ への関手として制限され、全忠実であることを示し、本質的像が左完全関手からなることを示す。
• 群スキーム $G$ の双対性および平坦性条件を活用し、$\mathcal{C} = \operatorname{Vect}^G R$ が $\operatorname{QCoh}(\operatorname{B}_R G)$ を生成することを保証し、随伴の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{X}$ が射影的スキームであるとき、$\u03a9^*$ はセールファンクター $\Gamma_*$ と一致し、$\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}$ は分離型モジュールの同次層化を回復する。
• RQ2 $\mathcal{X} = \operatorname{B}_R G$ で $G$ が平坦かつ $R[G]$ が $\operatorname{Vect}(\operatorname{B}_R G)$ 内の $G$-コモジュールの直接極限であるとき、解体的性質が成立し、層化が適切に定義される。
• RQ3 $\u03a9^*$ の $\operatorname{QAlg}^G A$ 上での本質的像は、$\operatorname{ML}_R(\mathcal{C},A)$ 内の、$\operatorname{Vect}^G R$ 内の短い完全系列において左完全である関手に正確に一致し、解体的性質のもとで全忠実性が保証される。
• RQ4 $G$ が線形的再帰的であるとき、$\operatorname{Mod}^G R$ から $\operatorname{QAdd}^G A$ への関手 $M \mapsto (-\otimes_R M)^G$ は全忠実であり、$\u03a9^*$ の像と同値である。これはタンナカ双対性を lax モノイダル設定へ拡張する。
• RQ5 自然同型 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}} \circ \u03a9^* \cong \text{id}_{\operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A)}$ が成り立つことを示し、層化が元の層を同型を除いて回復することを確認する。

主な発見

• 任意の $\mathcal{C}$ が本質的に小さいとき、$\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}$ は $\u03a9^*$ に左随伴として存在し、古典的層化を一般化する。
• スタック $\mathcal{X}$ が射影的スキームであるとき、$\u03a9^*$ はセールファンクター $\Gamma_*$ と一致し、$\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}}$ は分離型モジュールの同次層化を回復する。
• スタック $\mathcal{X} = \operatorname{B}_R G$ で $G$ が平坦かつ $R[G]$ が $\operatorname{Vect}(\operatorname{B}_R G)$ 内の $G$-コモジュールの直接極限であるとき、解体的性質が成立し、層化が適切に定義される。
• $\u03a9^*$ の $\operatorname{QAlg}^G A$ 上での本質的像は、$\operatorname{ML}_R(\mathcal{C},A)$ 内の、$\operatorname{Vect}^G R$ 内の短い完全系列において左完全である関手に正確に一致し、解体的性質のもとで全忠実性が保証される。
• $G$ が線形的再帰的であるとき、$\operatorname{Mod}^G R$ から $\operatorname{QAdd}^G A$ への関手 $M \mapsto (-\otimes_R M)^G$ は全忠実であり、$\u03a9^*$ の像と同値である。これはタンナカ双対性を lax モノイダル設定へ拡張する。
• 自然同型 $\mathcal{F}_{*,\mathcal{C}} \circ \u03a9^* \cong \text{id}_{\operatorname{QCoh}(\mathcal{X}_A)}$ が成り立つことを示し、層化が元の層を同型を除いて回復することを確認する。