[論文レビュー] Shearing approach to gauge-invariant Trotterization

Jesse R. Stryker|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 69被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、アーベリアン格子ゲージ理論におけるゲージ不変なトレーター化を達成するためのシアリング手法を提案する。この手法は、ユニタリ巡回シアーを用いて量子数の空間的ネットワークを変換し、同時更新を単一レジスタ上の条件付き更新に変換する。この方法は、物理的でない状態への射影を必要とせず、ゲージ不変性を保持する。これにより、制御Xゲートとシアーのみを用いて、ゲージフェルミオンの hopping およびプラケット相互作用の正確なゲート分解が可能になる。

ABSTRACT

Universal quantum simulations of gauge field theories are exposed to the risk of gauge symmetry violations when it is not known how to compile the desired operations exactly using the available gate set. In this article, we show how time evolution can be compiled in an Abelian gauge theory -- if only approximately -- without compromising gauge invariance, by graphically motivating a block-diagonalization procedure. When gauge-invariant interactions are associated with a "spatial network" in the space of discrete quantum numbers, it is seen that cyclically shearing the spatial network converts simultaneous updates to many quantum numbers into conditional updates of a single quantum number; ultimately, this eliminates any need to pass through (and acquire overlap onto) unphysical intermediate configurations. Shearing is explicitly applied to gauge-matter and magnetic interactions of lattice quantum electrodynamics. The features that make shearing successful at preserving Abelian gauge symmetry may also be found in non-Abelian theories, bringing one closer to gauge-invariant simulations of quantum chromodynamics.

研究の動機と目的

• デジタル量子コンピュータ上でゲージ場理論の実時間ダイナミクスをシミュレートする際、ゲージ対称性を破らないようにする挑戦に取り組む。
• 時間発展演算子の時間発展演算において、物理的でない状態への射影を回避する手法を開発する。これは、既存の手法における誤差の主な要因である。
• 特に hopping 項およびプラケット項に対して、正確でゲージ不変な時間発展演算子のゲート分解を、標準的な量子ゲートのみを用いて実現する。
• この手法を非アーベリアン理論へ一般化し、将来的に量子色力学を量子コンピュータ上でシミュレート可能にする。

提案手法

• 離散的な電磁場およびフェルミオンの量子数のヒルベルト空間に、巡回的シアー変換に基づく図式的でブロック対角化可能な手順を採用する。
• シアーはユニタリ操作であり、ゲージ相互作用の結合構造を再配置し、遷移を単一の量子数レジスタに沿って整列させ、条件付き更新を可能にする。
• シアー変換は、巡回的インクリメント演算子 $\hat{\lambda}^{\pm}$ およびクロネッカーのデルタ射影子 $\delta_{\hat{n},k}$ を用いて定義され、キュービットレジスタ上でモジュロ算術を可能にする。
• ゲージフェルミオンの hopping に対しては、合成シアー $\hat{\xi}_1\hat{\xi}_2$ が、境界違反を防ぐための射影子を伴う単一キュービットの制御X相互作用にホッピング項を簡略化する。
• コンパクトU(1)プラケットに対しては、2リンクのトロイモデルを用いて、シアー $\hat{\Xi}_{12}$ を定義し、電磁場配置を $2^\eta$ を法とする和に再パrameter化することで、遷移を1つの軸に沿って整列させる。
• 最終的なゲート分解では、シアーを活性変換として用い、その後に制御Xゲートを適用し、逆シアーを施す。これにより、ゲージ不変な時間発展演算子を正確に実装する回路が構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベリアン格子ゲージ理論における時間発展演算子を、物理的でない状態への射影を一切行わずに、ゲージ不変性を保ったまま量子回路にコンパイルできるか？
• RQ2 ヒルベルト空間のユニタリ的シアー変換を用いて、非局所的なゲージ相互作用をどのように局所的で条件付きの操作に変換できるか？
• RQ3 このシアー手法は、量子色力学のような非アーベリアンゲージ理論へどの程度一般化可能か？
• RQ4 標準的トレーター化と比較して、この手法を用いたゲージ不変な時間発展演算子の実装に必要な最小限のオーバーヘッドはどの程度か？
• RQ5 このシアー手法は、格子QEDにおける物質ホッピングおよび磁気的（プラケット）相互作用の両方に対して、正確なゲート分解を可能にするか？

主な発見

• シアー手法により、複数サイトにまたがるゲージ相互作用が条件付きの単一キュービット操作に変換され、中間的な物理的でない状態への射影の必要性が完全に排除された。
• ゲージフェルミオンのホッピングに対しては、2つの制御X回転をシアーの間に挟むことで、正確なゲート分解が得られ、電荷保存が保たれる。
• 巡回的シアー構造のおかげで、ヒルベルト空間内でのすべての遷移がゲージ不変パスに沿ってのみ発生することが保証され、ゲージ不変性が維持される。
• シアー変換はユニタリ的かつ可逆的であるため、ゲージ対称性の破れによる近似誤差を一切導入せず、時間発展演算子の正確なシミュレーションが可能になる。
• 2リンクのトロイモデルを用いたコンパクトU(1)プラケットへの応用において、シアー $\hat{\Xi}_{12}$ が電磁場配置を単一方向に沿って整列させることで、一般化が可能である。
• この手法は、シュレーディンガー図式で正確なゲージ対称性を保つ構造的設計により、実時間ダイナミクスにおける符号問題を根本的に回避する。