[論文レビュー] Sheaves on the alcoves I: Projectivity and wall crossing functors

Peter Fiebig, Martina Lanini|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、根系の実ベクトル空間におけるアラコフの集合上に、${\mathcal{Z}}$-加群の層の族を導入し、特徴が正の整数の半単純リー代数の表現を研究するための枠組みを確立する。独創的な壁を越える関手の構成を用いて、この圏における分解不能な射影的対象 ${\mathscr{B}}(A)$ の存在と一意性（同型を除いて）を証明し、これらはヴェルマ層のフィルトレーションをもち、スカイクラッパー層 ${\mathscr{V}}(A)$ に全射する。これにより、ベビーヴェルマ加群のジョルダン＝ホルダー乗法の表現論的不変量と結びつける。

ABSTRACT

This paper is the first in a series of papers in which we define and study a category of "sheaves of $\mathcal Z$-modules on the set of alcoves" that carries important information on the category of representations of semisimple Lie algebras in positive characteristics. Here, we define this category and study the structure of its projective objects using a new version of wall crossing functors.

研究の動機と目的

• アラコフの集合 $\mathcal{A}$ 上の ${\mathcal{Z}}$-加群の層の圏 ${\mathbf{C}}$ を定義し、補題条件および局所拡張条件を満たすようにする。
• ${\mathbf{C}}$ における分解不能な射影的対象 ${\mathscr{B}}(A)$ の存在と一意性（同型を除いて）を確立し、標準的スカイクラッパー層 ${\mathscr{V}}(A)$ への全射をもつようにする。
• 射影的性とヴェルマ層のフィルトレーションを保つ壁を越える関手の形式的構成を発展させ、初期の射影的対象からすべての射影的対象を構成可能にする。
• ${\mathbf{C}}$ の圏が半単純代数的群の特徴が正の整数の表現理論と結びつく一連の論文の基盤を築くこと。

提案手法

• ${\mathbf{C}}$ は、アラコフの集合 $\mathcal{A}$ の部分順序集合上の ${\mathcal{Z}}$-加群の層の完全部分圏として定義され、補題条件および局所拡張条件を満たす。
• 各アフィン単純反射 $s$ に対して、$s$-不変な開部分集合に沿った制限と拡張を用いた層論的構成により、${\mathbf{C}}$ の層に作用する壁を越える関手 $\vartheta_s$ を構成する。
• 埋め込み圏におけるフィット分解を活用し、任意の ${\mathbf{C}}$ の対象への同型写像の適合性に基づく基準を用いて、特定の層の射影的性を確立する。
• 初期の射影的対象 ${\mathscr{B}}(A_{\lambda}^{-})$ は定数層 $\underline{{\mathcal{K}}_{\lambda}}$ のシフトとして構成され、他のすべての射影的対象は壁を越える関手の反復適用によって得られる。
• 壁を越える関手が完全かつ自己随伴的であることが示され、射影的対象の射影的性がその作用のもとで保たれる。
• ${\mathscr{B}}(A)$ にヴェルマ層のフィルトレーションが存在することを証明するため、壁を越える関手の像がヴェルマ層をもつ対象の部分圏 ${\mathbf{B}}$ を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純リー代数の特徴が正の整数の表現論的データを符号化するように、アラコフ複体上の層の圏をどのように定義できるか？
• RQ2 この圏における射影的対象の構造は何か？ また、最小の初期射影的対象の集合から、アルゴリズム的にすべての射影的対象を構成可能か？
• RQ3 壁を越える関手は射影的性とヴェルマ層のフィルトレーション性を保つか？ そして、すべての分解不能な射影的対象を生成するために使用可能か？
• RQ4 射影的層 ${\mathscr{B}}(A)$ のスターブは、特徴がコックスター数を超えるとき、ベビーヴェルマ加群のジョルダン＝ホルダー乗法とどのように関係するか？
• RQ5 圏 ${\mathbf{C}}$ を用いて、特徴が正の整数の半単純代数的群の単純表現の特性を計算可能か？

主な発見

• 任意のアラコフ $A$ に対して、${\mathbf{C}}$ に、標準的スカイクラッパー層 ${\mathscr{V}}(A)[\ell_{\lambda}(A)]$ への全射をもつ、同型を除いて一意な分解不能な射影的対象 ${\mathscr{B}}(A)$ が存在する。
• 壁を越える関手 $\vartheta_s$ は完全かつ自己随伴的であり、射影的対象の像が射影的のまま保たれることを保証する。
• ${\mathscr{B}}(A)$ はヴェルマ層のフィルトレーションをもち、すなわち、連続する商がヴェルマ加群に同型であるフィルトレーションを持つ。
• 初期の射影的対象 ${\mathscr{B}}(A_{\lambda}^{-})$ は定数層 $\underline{{\mathcal{K}}_{\lambda}}$ のシフトとして構成され、他のすべての射影的対象は壁を越える関手の反復適用によって得られる。
• 壁を越える関手による ${\mathscr{B}}(A)$ の構成は、体 $k$ の特徴がコックスター数を超えるとき、そのスターブがベビーヴェルマ加群のジョルダン＝ホルダー乗法を符号化することを示唆する。
• ${\mathbf{C}}$ は、${\mathcal{Z}}$-加群の層の埋め込み圏からの完全構造を引き継ぎ、${\mathbf{C}}$ における射影的対象は、この完全構造において射影的であるものに限る。