[論文レビュー] Shimura curves within the locus of hyperelliptic Jacobians in genus three

Samuel Grushevsky, Martin Moeller|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、明示的な周期行列パラメトライゼーションと崩壊データ解析を用いて、3世代のハイパーオービックヤコビアンの部分多様体内に無限個のシムーラ曲線を構成する。非完全なクーガ曲線がこの部分多様体内で非完全である場合、特定の $\sigma_{1+1}$ 型において等しい成長次数を持つ崩壊を示し、これらがアーベル3倍数のモジュライ空間で完全でないことを示している。

ABSTRACT

We construct an infinite number of Shimura curves contained in the locus of hyperelliptic Jacobians of genus 3. In the opposite direction, we show that in genus 3 the only possible non-complete (in the moduli space of abelian threefolds) Kuga curves contained in the hyperelliptic locus have the same degeneration data as that of the examples we construct. The locus of genus 3 hyperelliptic Jacobians is a divisor within the moduli space of principally polarized abelian threefolds, and our result demonstrates the techniques we develop more generally for dealing with Shimura curves contained within a divisor in the moduli space of abelian varieties.

研究の動機と目的

• 3世代のハイパーオービックヤコビアンの部分多様体内におけるシムーラ曲線およびクーガ曲線の存在と構造を調査すること。
• \mathcal{A}_3 のハイパーオービックヤコビアンの部分多様体に含まれる非完全なクーガ曲線のための必要十分な崩壊型を特定すること。
• 複素パラメータを含む周期行列を用いて、ハイパーオービックヤコビアンの部分多様体内に明示的なシムーラ曲線族を構成すること。
• ハイパーオービックヤコビアンの部分多様体内に無限個の異なるシムーラ曲線が存在することを示すこと。
• principally極化アーベル多様体のモジュライ空間内の超曲面内におけるシムーラ曲線を研究するための一般的手法を開発すること。

提案手法

• t \in \mathbb{H} および u \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}+i\mathbb{Z} を用いて、\Pi_u(t) = \begin{pmatrix} t + iu^2 & u^2/2 & iu \\ u^2/2 & t & u \\ iu & u & i \end{pmatrix} の形の周期行列を用いて、アーベル3倍数の族をパラメトライズする。
• B_D, B_H, S, S_3 などのシンプレクティック行列による基底変換を適用し、ホモロジーおよび微分形式上のモノドロミー作用を対角化する。
• toroidal compactifications \overline{\mathcal{A}_g} を用いて、モジュラー形式および周期行列の崩壊行動を分析する。
• S_3 D (B_H^{-1})^T などの行列で表されるヤコビアンと積アーベル多様体間の同種写像を用い、同種類の間での周期行列を関連付ける。
• T_0T^3 によるインボリューションを用いて、2世代曲線の商族 Y_s を分析し、[BL04] で知られているタイプII曲線の周期行列を用いる。
• C_1 および C_2 などのシンプレクティック行列を合成して、周期行列を、シムーラ曲線構造を検証するために必要な形に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非完全なクーガ曲線が3世代のハイパーオービックヤコビアンの部分多様体に一般に含まれる場合、どのような崩壊型が可能か？
• RQ2 \mathcal{A}_3 のハイパーオービックヤコビアンの部分多様体内に、無限個の異なるシムーラ曲線を明示的に構成できるか？
• RQ3 このような曲線の周期行列は、シンプレクティック基底変換およびモノドロミー作用の下でどのように振る舞うか？
• RQ4 複素乗法とCM点は、これらのシムーラ曲線の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 これらの曲線は変形に対してどの程度保存され、同種写像はそれらの周期行列をどのように関連付けるか？

主な発見

• \mathcal{A}_3 に一般に含まれる非完全なクーガ曲線は、\sigma_{1+1} 型において等しい成長次数を持つ崩壊を示す必要があり、周期行列の形 \begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + M で指定される。
• 任意の u \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}+i\mathbb{Z} に対して、族 \Pi_u(t) はその一般点がハイパーオービックヤコビアンの部分多様体 \mathrm{Hyp}_3 に属するシムーラ曲線を定義する。
• \mathrm{Hyp}_3 に無限個の異なるシムーラ曲線が存在する。これは命題7.4で証明されている。
• u = \frac{1+i}{2} のシムーラ曲線は、ムーンエン＝オーガートのリストに既知の例と同型であり、\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 に等しい縮小自己同型群を持つハイパーオービック曲線に対応する。
• 族 X_s の周期行列はシンプレクティック行列を用いて変換され、それにより Lemma 4.3 で要請される形に一致し、シムーラ曲線構造が確認された。
• X_{1/2} のヤコビアンから周期行列 \begin{pmatrix} Z_2 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} を持つ積への同種写像は、S_3 D (B_H^{-1})^T で与えられ、D = \mathrm{diag}(1,1,1,2,1,1) である。