[論文レビュー] Short-range entanglement and invertible field theories

Daniel S. Freed|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Topological Materials and Phenomena参考文献 55被引用数 62

ひとこと要約

本稿は、安定ホモトピー論から導かれる可逆場理論を用いて、物性系における短距離もつれ（SRE）相の位相的不変量を提案する。長距離有効場理論を完全に拡張された可逆トポロジカル量子場理論としてモデル化することで、スペクトル間の写像を介してSRE相を分類し、群コホモロジーを上回るより細かい不変量をもたらし、キタエフのE8相や時間反転対称性を持つ3次元ボゾン系のSRE相を正しく検出する。

ABSTRACT

Quantum field theories with an energy gap can be approximated at long-range by topological quantum field theories. The same should be true for suitable condensed matter systems. For those with short range entanglement (SRE) the effective topological theory is invertible, and so amenable to study via stable homotopy theory. This leads to concrete topological invariants of gapped SRE phases which are finer than existing invariants. Computations in examples demonstrate their effectiveness.

研究の動機と目的

• 群コホモロジーを超える、短距離もつれ（SRE）相の洗練された位相的不変量の開発。
• 安定ホモトピー論を介してSRE相と可逆トポロジカル場理論を結びつける枠組みの確立。
• 既知のSRE相に対する明示的計算を通じて、これらの不変量の有効性の検証。
• SRE相分類におけるグローバル対称性、時間反転、重力結合の役割の探求。
• 微視的SRE分類と長距離トポロジカル場理論記述との調和の確立。

提案手法

• ギャップのある系の長距離的振る舞いを、完全に拡張された可逆トポロジカル量子場理論としてモデル化する。
• コボルディズム仮説を用いて、このような場理論を代数的トポロジーにおけるスペクトル間の写像と同一視する。
• マドセン＝ティルマンスペクトルを用いて、フェルミオン的および時間反転対称性を含む多様なグローバル対称性を持つ場理論を分類する。
• 特にボゾン的およびフェルミオン的SRE相に対して、スペクトルのホモトピー群を用いて不変量を構築する。
• アティヤ＝ヒルツェブルグスペクトル系列を用いて、ℝℙ∞のような分類空間のコホモロジー群を計算する。
• 場理論の不変量を、既知の不変量（群（超）コホモロジーおよびチラル中心電荷）と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆場理論は、群コホモロジーを上回る、SRE相のより細かい分類を可能にするか？
• RQ2 重力的およびゲージ異常は、トポロジカル場理論を用いたSRE相分類においてどのように現れるか？
• RQ3 時間反転および反線形対称性は、SRE相の位相的不変量においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 E8相やその他の特異なSRE相は、これらの不変量によって検出可能か？
• RQ5 微視的系によって実現されない有効場理論は存在するのか？その診断はどのように可能か？

主な発見

• 本稿は、提案された可逆場理論不変量を用いてキタエフのE8相を正しく検出し、その有効性を確認した。
• 不変量は、E8相を含む2+1次元ボゾン系SRE相におけるチラル中心電荷を正しく捉えている。
• 時間反転対称性を持つ3+1次元ボゾン系SRE相において、不変量は半量子化された熱ホール効果を検出しており、既知の物理と整合している。
• コホモロジー群 $ A^{{\tilde{\rho}}_{A}}(\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty) $ は $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $ に等しく、分類フレームワークを支持する。
• 写像 $ B^{{\tilde{\rho}}_{B}}(\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty) \to A^{{\tilde{\rho}}_{A}}(\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty) $ は全射であることが示され、スペクトル系列計算の整合性が確認された。
• 理論は追加の「4乗根」相を予測しており、一部の有効場理論が微視的モデルによって実現可能でない可能性を示唆している。