[論文レビュー] Simple and explicit bounds for multi-server queues with universal 1 / (1 - rho) scaling

David A. Goldberg, Yuan Li|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2017

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 57被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、交通強度ρが1に近づくに従い、普遍的に1/(1−ρ)に比例するスケーリングを示す、最初の単純で明示的な多サーバーキュー（GI/GI/n）の境界を確立した。GamarnikとGoldbergの確率的比較境界を分析することで、到着間隔およびサービス時間分布の有限モーメントの数に依存する、キュー長および遅延確率の尾部減衰率が導出された。

ABSTRACT

We consider the FCFS GI/GI/n queue, and prove the first simple and explicit bounds that scale gracefully and universally as 1 / (1 - rho) (and better), with rho the corresponding traffic intensity. In particular, we prove the first multi-server analogue of Kingman's bound, which has been an open problem for over fifty years. Our main results are bounds for the tail of the steady-state queue length and the steady-state probability of delay, where the strength of our bounds (e.g. in the form of tail decay rate) is a function of how many moments of the inter-arrival and service distributions are assumed finite. Supposing that the inter-arrival and service times, distributed as random variables A and S, have finite rth moment for some r > 2, our bounds are simple and explicit functions of only the normalized rth moments of A and S, r, and 1 / (1 - rho). Our simple and explicit bounds scale gracefully even when the number of servers grows large and the traffic intensity converges to unity simultaneously, as in the Halfin-Whitt scaling regime. Our proofs proceed by explicitly analyzing the bounding process which arises in the stochastic comparison bounds of Gamarnik and Goldberg for multi-server queues. Along the way we derive several novel results for suprema of random walks with stationary increments and negative drift, pooled renewal processes, and various other quantities which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 交通強度が1に近づくに従い、滑らかにスケーリングする単純で明示的な多サーバーキュー境界を導出する長年の未解決問題に取り組む。
• 1962年のKingmanの単一サーバーキューに対する境界の多サーバー版を初めて提供し、その普遍的1/(1−ρ)スケーリングを多サーバーシステムに拡張する。
• 到着間隔およびサービス時間分布の有限モーメントの数に明示的に依存する、定常状態キュー長の尾部および遅延確率の境界を確立する。
• サーバー数と交通強度が同時に増加するHalfin-Whittスケーリング領域においても、境界が有効かつ解釈可能であることを保証する。
• 負のドリフトを伴うステーショナリィ増分ランダムウォークの上限に関する、新たな解析的手法を構築し、主な結果を支えるものであり、独立しての関心を引く可能性がある。

提案手法

• GamarnikとGoldbergの確率的比較境界を活用し、GI/GI/nキューのバウンディングプロセスを構築する。
• 負のドリフトを伴う定常増分ランダムウォークの上限に関するモーメントベースの境界を用いて、バウンディングプロセスの尾部挙動を分析する。
• 到着間隔およびサービス時間分布のr乗モーメント（r > 2）の正規化されたr次モーメントに依存する、明示的な尾部減衰率の式を導出する。
• プーリングおよび再生過程の分解技術を用いて、高負荷状態におけるバウンディングプロセスの挙動を制御する。
• 集中・モーメント不等式を適用して、定常状態キュー長および遅延の尾部確率をバウンディングする。
• すべての境界が、AとSの正規化されたr次モーメント、r、および1/(1−ρ)のみの明示的関数として表現されることを保証し、直接計算および解釈が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多サーバーキューに対して、Kingmanの単一サーバー系における境界と類似する、明示的かつ単純な境界を1/(1−ρ)に普遍的にスケーリングできるか？
• RQ2 定常状態キュー長の尾部減衰率は、到着間隔およびサービス時間分布の有限モーメントの数にどのように依存するか？
• RQ3 このような境界は、n → ∞ かつ ρ → 1 となるHalfin-Whittスケーリング領域でも有効かつ解釈可能に保たれるか？
• RQ4 負のドリフトを伴う定常増分ランダムウォークの上限に対して、新たな確率的境界をどのように導出できるか？
• RQ5 GamarnikとGoldbergのフレームワークから得られるバウンディングプロセスを明示的に解析することで、定量的かつ解釈可能な尾部境界を得られるか？

主な発見

• 本稿は、GI/GI/nキューに対して、Kingmanの境界の最初の多サーバー版を確立し、明示的かつ単純な1/(1−ρ)スケーリングを示した。
• キュー長および遅延確率の尾部減衰率は、r > 2 に対して、到着間隔およびサービス時間分布の正規化されたr次モーメントの明示的関数として表現された。
• サーバー数が増加し、交通強度が1に近づく状況、特にHalfin-Whittスケーリング領域においても、境界は有効かつ意味を持つまま保たれた。
• 境界の強さ（尾部減衰率で測定）は、到着間隔およびサービス時間分布の有限モーメントの数が増えるほど向上する。
• 負のドリフトを伴う定常増分ランダムウォークの上限に関する、新たな結果が得られ、主な境界を支えるものであり、独立しての関心を引く可能性がある。
• すべての境界が、AとSの正規化されたr次モーメント、r、および1/(1−ρ)のみの単純で明示的な関数として表現されており、性能解析およびシステム設計への直接的応用が可能である。