[論文レビュー] Simple wild L-packets

Tasho Kaletha|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、p進体上の代数群に対して、単純な野生Langlandsパラメータに単純な超臨界表現の有限集合を対応付けることにより、単純な野生Lパケツを構成する。この構成は、安定的分岐な巡回的トーラスとアフィン一般性の特徴を用いる。構成は、残差標数にやや厳しい条件のもとで、予想された対応関係を実現し、正則半単純元の開部分集合上でこれらのLパケツの安定性を証明する。

ABSTRACT

In a recent paper, Gross and Reeder study arithmetic properties of discrete Langlands parameters for semi-simple p-adic groups and conjecture that a special class of these -- the simple wild parameters -- should correspond to L-packets consisting of simple supercuspidal representations. We provide a construction of this correspondence and show that the simple wild L-packets satisfy many expected properties. In particular, they admit a description in terms of the Langlands dual group and contain a unique generic element for a fixed Whittaker datum. Moreover, we prove their stability on an open subset of the regular semi-simple elements, and show that they satisfy a natural compatibility with respect to unramified base-change.

研究の動機と目的

• 局所Langlands対応における単純な野生Langlandsパラメータと単純な超臨界表現の間の予想された対応関係を確立すること。
• 安定的分岐な巡回的トーラスと安定的共役類の埋め込みを用いて、単純な超臨界表現の明示的Lパケツを構成すること。
• 得られたLパケツが対応する群の作用に関して安定であり、期待される特性理論的性質を満たしていることを確認すること。
• 基本体の有限非分岐拡大との整合性を示すこと。
• 正則半単純元の開部分集合上で原子的安定性を示すことにより、Lパケツの完全な安定性に関する証拠を提供すること。

提案手法

• p進体 $F$ 上の安定的分岐な巡回的トーラス $S$ を構成し、型(C)の埋め込み $j: S \to G$ の安定的共役類を、ビルディング内のアラコーブの重心によって特徴付ける。
• $L$-群 $^L S$ を用いて、Langlandsパラメータ $\phi: W_F \to \widehat{G}$ を $\phi_S$ を介して $\chi: S(F) \to \mathbb{C}^\times$ への特徴として上に上げる。
• 点 $x$（$j$ に対応するビルディングの点）とCoxeter数 $h$ を用いて、商 $Z(F)G(F)_{x,1/h}/G(F)_{x,2/h}$ 上にアフィン一般性特徴 $\tilde{\chi}$ を定義する。
• コンパクト誘導 $\mathrm{c-Ind} \tilde{\chi}$ を用いて単純な超臨界表現 $\pi$ を構成し、Borel部分群に関して一般的であることを保証する。
• ペair $(j, \chi)$ の $G_{\rm ad}(F)$-共役類が $\phi$ のみに依存することを示し、Lパケツの定義の正当性を保証する。
• Tate-Nakayama同型とノーム写像を用いて、Harish-Chandraの特性和 $S\Theta_\Pi$ が正則半単純元の開部分集合上で安定であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進群に対して、単純な野生パラメータと単純な超臨界表現の間の予想された対応関係は成立するか？
• RQ2 アフィン一般性特徴と型(C)のトーラス埋め込みを用いてLパケツ構造を明示的に実現できるか？
• RQ3 残差体に制限を設けずに、正則半単純元の開部分集合上でLパケツが安定するか？
• RQ4 基本体の有限非分岐拡大との間で、この構成はどのように振る舞うか？
• RQ5 Langlandsパラメータ $\phi$ に対して、$G_{\rm ad}(F)$-共役を除いてLパケツは一意的に定まるか？

主な発見

• 構成により、単純な野生パラメータ $\phi$ から、$G_{\rm ad}(F)$-共役類としての単純な超臨界表現の集合が一意に得られ、期待されるLパケツが実現される。
• Lパケツは正則半単純元の開部分集合上で安定であり、パケツの真の部分集合が安定な特性和を持たないため、原子的安定性が成立する。
• 構成は有限非分岐拡大と整合する：$ ilde{F}/F$ が非分岐ならば、$ ilde{F}$ 上のLパケツは、特徴と埋め込みのベースチェンジによって得られる。
• $G_{\rm ad}(F)$-軌道としてのアフィン一般性特徴 $ ilde{\chi}$ は、$ heta$ のみに依存し、埋め込み $j$ の補助的選択に依存しない。
• Lパケツ構造は、予想された形と一致する：表現の集合は、$ heta$ における $ frac{\widehat{G}$ の有限中心化群の特徴の群と一対一対応する。
• 特性和 $S\Theta_\Pi$ の安定性は、$G_{\rm ad}(F)$ 上での積分、ノーム写像、Tate-Nakayama双対性を用いて確立される。