[論文レビュー] Simultaneously recovering potentials and embedded obstacles for anisotropic fractional Schrödinger operators

Xinlin Cao, Yi‐Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非局所的分数級シュレーディンガー作用素における埋め込まれた障害および周囲のポテンシャルを、1つの外部ディリクレ・トゥ・ノイマン（DtN）測定を用いて同時に一意に回復する初の結果を確立する。主な貢献は、ポテンシャルに依存せずに1つの測定で障害が一意に回復可能であることを証明し、複数の測定によってポテンシャルが一意に特定可能であることを示したことである。これは、非局所解析のツールを用いて、局所的状況（s=1）における長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

Let $A\in\mathrm{Sym}(n imes n)$ be an elliptic 2-tensor. Consider the anisotropic fractional Schrödinger operator $\mathscr{L}_A^s+q$, where $\mathscr{L}_A^s:=(- abla\cdot(A(x) abla))^s$, $s\in (0, 1)$ and $q\in L^\infty$. We are concerned with the simultaneous recovery of $q$ and possibly embedded soft or hard obstacles inside $q$ by the exterior Dirichlet-to-Neumann (DtN) map outside a bounded domain $Ω$ associated with $\mathscr{L}_A^s+q$. It is shown that a single measurement can uniquely determine the embedded obstacle, independent of the surrounding potential $q$. If multiple measurements are allowed, then the surrounding potential $q$ can also be uniquely recovered. These are surprising findings since in the local case, namely $s=1$, both the obstacle recovery by a single measurement and the simultaneous recovery of the surrounding potential by multiple measurements are longstanding problems and still remain open in the literature. Our argument for the nonlocal inverse problem is mainly based on the strong uniqueness property and Runge approximation property for anisotropic fractional Schrödinger operators.

研究の動機と目的

• 非局所的シュレーディンガー作用素において、埋め込まれた障害および周囲のポテンシャルを一意に回復する長年の未解決問題を解消すること。
• 外部測定1つで埋め込まれた障害が、周囲のポテンシャルに依存せずに一意に特定可能であることを確立すること。
• 複数の外部測定によって、$ L^\infty $ における周囲のポテンシャル $ q \in L^\infty $ が一意に回復可能であることを証明し、局所的状況を超えた結果を拡張すること。
• 埋め込まれた障害を伴う非局所逆問題に対して、強力な一意性およびランジュ近似に基づく枠組みを構築すること。
• 局所的状況（s=1）では未解決のままだった、非等方的分数級設定における同時回復問題に取り組むこと。

提案手法

• 非等方的分数級シュレーディンガー作用素の強力な一意性特性を用いて、解が領域内を通過して消えることを伝播させる。
• $ L^2 $ で稠密な範囲を持つ解の構成を可能にするランジュ近似特性を用いることで、逆問題における稠密性の議論を可能にする。
• 非局所方程式の弱形式から導かれる積分恒等式を用いて、DtN写像とポテンシャル・障害を関連付ける。
• 外部測定としてディリクレ・トゥ・ノイマン写像 $ \Lambda_{D,q} $ を唯一の測定手段として用い、非局所作用素 $ \mathscr{L}_A^s $ を介して定義する。
• 任意の $ L^2 $ 関数を稠密にテストできるように、$ L^2 $ で収束する解の列を用いた極限的議論を実装する。これにより、稠密性に基づく一意性証明が可能になる。
• 固有値条件 (1.3) の下で非局所問題の適切な定式化が保証され、弱解の存在および一意性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非等方的分数級シュレーディンガー作用素において、外部測定1つで埋め込まれた障害が、周囲のポテンシャルに依存せずに一意に特定可能か？
• RQ2 複数の外部測定によって、埋め込まれた障害が存在する中で、周囲のポテンシャル $ q \in L^\infty $ が一意に回復可能か？
• RQ3 分数級作用素の非局所的性質が、これらの問題が未解決のままだった局所的状況（s=1）よりも強力な一意性結果を可能にするか？
• RQ4 強力な一意性およびランジュ近似特性が、非局所PDEにおける同時逆問題の解決にどのように寄与するか？
• RQ5 拡散テンソル $ A(x) $ の非等方的性が、障害およびポテンシャル回復の一意性に果たす役割は何か？

主な発見

• 埋め込まれた障害 $ D $ は、ポテンシャル $ q $ に依存せず、外部DtN測定1つで一意に回復可能である。これは定理1.1で示された。
• 複数の外部測定によって、$ q \in L^\infty(\Omega \setminus \overline{D}) $ が一意に特定可能である。定理1.2および定理5.1で証明された。
• $ L^2 $ で収束する解の列を用いた極限的議論により、$ q $ の一意性が確立され、稠密なテスト関数の使用が可能になった。
• 強力な一意性特性により、外部の開集合上で解が消えるならば、その解は恒等的にゼロになる。これは一意性の証明に不可欠である。
• ランジュ近似特性により、内部で所望の振る舞いを示す解を構成可能であり、これは $ q $ の一意性証明に不可欠である。
• 結果はソフトまたはハード障害条件に対しても頑健であり、境界条件 $ \mathcal{B}u=0 $ が核心的な一意性の議論に影響しない。