[論文レビュー] Single-Source Nets of Algebraically-Quantized Reflective Liouville Potentials on the Line I. Almost-Everywhere Holomorphic Solutions of Rational Canonical Sturm-Liouville Equations with Second-Order Poles

Gregory Natanson|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 102被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、第二階極を持つ有理的標準Sturm-Liouville方程式（RCSLE）のほぼ everywhere 正則（AEH）解を用いて、有理的Liouvilleポテンシャル（RLP）のSUSYラダーを統一的に構築する手法を導入する。主な貢献は、エネルギーに依存する多項式係数を持つ方程式における自由項を変化させることで、Jacobi、ラゲル、またはラウス多項式を出発点として、r-、c-、またはi-ガウス・シードHeine多項式として分類される多項式解のネットワークを体系的に生成できることである。

ABSTRACT

The paper presents the unified technique for constructing SUSY ladders of rational Liouville potentials (RLPs) starting from the so-called "Gauss-reference" (GRef) potentials exactly quantized on the line via classical Jacobi, classical (generalized) Laguerre, or Romanovski-Routh polynomials with energy-dependent indexes. Each RLP is obtained by means of the Liouville transformation (LT) of the appropriate rational canonical Sturm-Liouville equation (RCSLE) with second-order poles. The presented analysis takes advantage of the generic factorization of canonical Sturm-Liouville equations (CSLEs) in terms of intertwining "generalized" Darboux operators. We refer to the latter operators as the canonical Liouville-Darboux transformations (CLDTs) to stress that they are equivalent to three-step operations: i) the LT from the CSLE to the Schrodinger equation; ii) the Darboux transformation (DT) of the appropriate LP; and iii) the inverse LT from the Schrodinger equation to the new CSLE. It is proven that the CLDT preserves the rational form of the RCSLE if its factorization function (FF) is an almost-everywhere holomorphic (AEH) solution of the RCSLE (or, in other words, a solution with a rational logarithmic derivative). As explained in the paper there are up to four gauge transformations which convert each RCSLE of our interest into the second-order differential equations with energy-dependent polynomial coefficients. The most important result of the paper is that polynomial solutions of these equations belong to sequences of Heine polynomials obtained by varying free terms at fixed values of singular points and the appropriate characteristic exponents. This allows us to construct networks of polynomial solutions -- the so-called "r-, c-, or i-Gauss-seed" (r-, c-, or i-GS) Heine polynomials -- starting from Jacobi, (generalized) Laguerre or Routh polynomials, respectively.

研究の動機と目的

• 直線上における有理的Liouvilleポテンシャル（RLP）のSUSYラダーを生成する統一的フレームワークの構築を目的とする。
• 第二階極を伴う有理的標準Sturm-Liouville方程式（RCSLE）の有理的形が、canonical Liouville-Darboux変換（CLDT）によって保たれる条件を特定すること。
• RCSLEのAEH解と、エネルギーに依存する係数を持つHeine多項式の系列との関係を確立すること。
• 古典的正規直交多項式を出発点として、r-、c-、またはi-ガウス・シード（r-、c-、i-GS）Heine多項式と呼ばれる多項式解のネットワークを分類および構築すること。
• 変換された方程式の多項式解が、特異点と特性指数を固定したまま自由項を変化させることによって生じることを示すこと。

提案手法

• 一般化されたDarboux作用素（「canonical Liouville-Darboux変換（CLDT）」と呼ばれる）による標準Sturm-Liouville方程式（CSLE）の一般因子分解を用いる。
• 三段階のCLDTプロセスを適用する：(i) CSLEからシュレーディンガー方程式へのLiouville変換（LT）、(ii) その結果得られるLiouvilleポテンシャルに対するDarboux変換（DT）、(iii）逆LTにより新たなCSLEへの還元。
• RCSLEの有理的形を保つために、因子化関数（FF）がほぼ everywhere 正則（AEH）解、すなわち有理的対数微分を持つ解であることを要請する。
• 各RCSLEをエネルギーに依存する多項式係数を持つ二階微分方程式に変換するために、最大4つのゲージ変換を用いる。
• 得られた方程式を、自由項を変化させることで系列を形成するHeine型方程式とみなす。特異点と特性指数を固定した状態で、その系列が多項式解を生成することを分析する。
• Jacobi、一般化されたラゲル、またはラウス多項式を出発点として、それぞれr-、c-、またはi-ガウス・シード（r-、c-、i-GS）Heine多項式と呼ばれる単一ソースの解ネットワークを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的正規直交多項式から、有理的LiouvilleポテンシャルのSUSYラダーをどのように体系的に生成できるか？
• RQ2 canonical Liouville-Darboux変換（CLDT）が、第二階極を伴う有理的標準Sturm-Liouville方程式（RCSLE）の有理的形を保つための条件は何か？
• RQ3 有理的対数微分を持つほぼ everywhere 正則（AEH）解が、RCSLEの有理的構造を維持するために果たす役割は何か？
• RQ4 ゲージ変換はどのようにRCSLEをエネルギーに依存する多項式係数を持つ二階方程式に変換するのか？ そして、このような変換からどのような多項式族が生じるか？
• RQ5 特異点と特性指数を固定したまま自由項を変化させることで、r-、c-、またはi-ガウス・シードHeine多項式と呼ばれる多項式解のネットワークを構築できるか？

主な発見

• canonical Liouville-Darboux変換（CLDT）がRCSLEの有理的形を保つのは、因子化関数（FF）が有理的対数微分を持つほぼ everywhere 正則（AEH）解である場合に限り、かつそのときに限る。
• 関心をもつ各RCSLEは、最大4つのゲージ変換を用いることで、エネルギーに依存する多項式係数を持つ二階微分方程式に変換可能である。
• 変換された方程式の多項式解は、特異点と特性指数を固定したまま自由項を変化させることで形成されるHeine多項式の系列として特定される。
• 得られる解ネットワーク—r-、c-、またはi-ガウス・シード（r-、c-、i-GS）Heine多項式—は、それぞれJacobi、一般化されたラゲル、またはラウス多項式に由来する。
• 本手法により、AEH解とCLDTを用いて、古典的正規直交多項式から有理的Liouvilleポテンシャル（RLP）のSUSYラダーを統一的に生成する代数的フレームワークが確立された。
• 本手法は、直線上の反射的Liouvilleポテンシャルに対して、Heine多項式とエネルギーに依存する係数の構造に基づいた体系的な代数的量子化手順を提供する。