[論文レビュー] Singular integral operators on non-compact manifolds and analysis on polyhedral domains

Victor Nistor|ArXiv.org|Feb 19, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非コンパクト多様体、特に無限遠に Lie 構造を持つ多様体における特異積分作用素および擬微分作用素の解析のためのフレームワークを開発し、多面体的領域における境界値問題に応用する。代数 $\Psi_{\mathcal{V}}^{\infty}(M)$ に属する作用素のフレドホルム条件を確立し、多段付き円筒的端を持つ多様体上のディラック作用素の本質的スペクトルを特定し、境界面の非退化性条件下でそれが $(-\infty, -c] \cup [c, \infty)$ であることを示す。

ABSTRACT

We review the definition of a Lie manifold $(M, \VV)$ and the construction of the algebra $Ψ\sp{\infty}\sb{\VV}(M)$ of pseudodifferential operators on a Lie manifold $(M, \VV)$. We give some concrete Fredholmness conditions for pseudodifferential operators in $Ψ\sp{\infty}\sb{\VV}(M)$ for a large class of Lie manifolds $(M, \VV)$. These Fredholmness conditions have applications to boundary value problems on polyhedral domains and to non-linear PDEs on non-compact manifolds. As an application, we determine the spectrum of the Dirac operator on a manifold with multi-cylindrical ends.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体に Lie 構造が無限遠で存在する場合の擬微分作用素理論を拡張し、多面体的領域における境界値問題の解析を可能にする。
• 特にタイプ I Lie 多様体であるクラスの Lie 多様体上で、$\Psi_{\mathcal{V}}^{\infty}(M)$ に属する作用素の明示的なフレドホルム性基準を確立する。
• 多段付き円筒的端を持つ多様体上のディラック作用素の本質的スペクトルを特定し、ラプラシアンに関する既知の結果を一般化する。
• 特異的かつ非コンパクトな幾何的状況におけるスペクトル理論および楕円的正則性に関する既存の結果を統一的かつ拡張する。

提案手法

• 無限遠における適切な構造を生成するベクトル場の Lie 環 $\mathcal{V}$ を持つ Lie 多様体 $(M, \mathcal{V})$ の概念を用いる。
• Melrose の量子化手続きを用いて、コンパクト多様体上の古典的計算を一般化する、擬微分作用素の代数 $\Psi_{\mathcal{V}}^{\infty}(M)$ を構成する。
• 無限遠における挙動に基づき、$\Psi_{\mathcal{V}}^{\infty}(M)$ に属する作用素の具体的なフレドホルム性条件を導出するための「タイプ I Lie 多様体」を導入する。
• 群族的手法および漸近的解析を用いて、特にディラック作用素の本質的スペクトルを研究する。
• 余次元が増加する順に面を段階的に扱う帰納的推論を用い、無限遠における境界の構造および超面におけるディラック作用素の可逆性を利用する。
• クリフォード乗法とスペクトル対称性の議論（ユニタリ変換 $V$ を通じて）を用い、$\sigma(D_1) = (-\infty, -c] \cup [c, \infty)$ を示し、本質的スペクトルの結果に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie 多様体上での $\Psi_{\mathcal{V}}^{\infty}(M)$ に属する擬微分作用素がフレドホルムであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 多段付き円筒的端を持つ非コンパクト多様体上でのディラック作用素の本質的スペクトルはどのように振る舞うか？
• RQ3 多面体的領域上のディラック作用素がフレドホルム的または可逆となる幾何的および解析的条件は何か？
• RQ4 次元が 0 の面（点）が存在する場合、ディラック作用素の本質的スペクトルにどのような影響を与えるか？
• RQ5 多段付き円筒的端におけるラプラシアンのスペクトル理論を、ディラック作用素へどの程度一般化できるか？

主な発見

• 多段付き円筒的端を持つ多様体上でのディラック作用素の本質的スペクトルは、$(-\infty, -c] \cup [c, \infty)$ である。ここで $c^{-1} = \max\{\|D_H^{-1}\|\}$ はすべての超面 $H$ に対してとる。
• 任意の面 $F \neq M$ に対して $L^2$-調和スピン角が存在しない場合、ディラック作用素 $D_M$ がフレドホルムであるための必要十分条件は、すべての such 面に対して $\ker(D_F) = 0$ であることである。
• ディラック作用素 $D_M$ が可逆であるための必要十分条件は $\ker(D_M) = 0$ であることであり、これはすべての面で $L^2$-調和スピン角が存在しないことと同値である。
• 多様体に次元が 0 の面（点）が存在する場合、ディラック作用素の本質的スペクトルは $\mathbb{R}$ になる。これは $\mathbb{R}^n$ 上のディラック作用素のスペクトルが $\mathbb{R}$ であるためである。
• 少なくとも一つの面 $F \neq M$ に対して $\ker(D_F) = 0$ が成り立つ場合、ディラック作用素の本質的スペクトルは $\mathbb{R}$ を含み、$\sigma_e(D_M) = \mathbb{R}$ となる。
• 結果は、体積が有限である多様体に関する Bär [14] の結果と整合的であるが、幾何的設定は同一ではなく、共形的に同値であるが異なる。