[論文レビュー] Six-dimensional nearly Kaehler manifolds of cohomogeneity one (II)

Andrea Spiro, Fabio Podestà|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$G = \mathrm{SU}_2 \times \mathrm{SU}_2$ であるとき、$G/K \times \mathbb{R}$ 上に2パラメータの非等長、$G$-不変な厳密な近似ケーラー（NK）構造の族を構成し、$TS^3$ 上にはそのような構造の1パラメータ族を、特異な $S^3$ 軌道に滑らかに拡張できる。主な結果は、$TS^3$ 上に非局所的に同一型でないNK構造の新規クラスが存在することであり、等長的モジュライ空間は $\mathbb{R}$ に同定され、その中で2つの構造は局所的に同一型であり、それぞれ $S^6$ および $S^3 \times S^3$ 上の標準的近似ケーラー構造と $G$-同値である。この構成は、正規測地線に沿った $G$-不変形式の微分方程式系を解くことに依拠しており、Malgrangeの定理により形式的べき級数解が保証される。

ABSTRACT

Let M be a six dimensional manifold, endowed with a cohomogeneity one action of G= SU_2 x SU_2, and M_reg its subset of regular points. We show that M_reg admits a smooth, 2-parameter family of G-invariant, non-isometric strict nearly Kaehler structures and that a 1-parameter subfamily of such structures smoothly extend over a singular orbit of type S^3. This determines a new class of examples of nearly Kaehler structures on TS^3

研究の動機と目的

• 6次元多様体上で $G = \mathrm{SU}_2 \times \mathrm{SU}_2$ の下にコhomogeneity 1 を持つ $G$-不変な厳密な近似ケーラー構造を分類すること。
• $TS^3$ 上のこのような構造が特異な $S^3$ 軌道に滑らかに拡張可能かどうかを特定すること。
• $TS^3$ 上の $G$-不変な厳密なNK構造の等長的モジュライ空間を同定すること。
• $S^6$ および $S^3 \times S^3$ 上の既知の同一型ケースの間を滑らかに接続する、非局所的に同一型のNK構造の存在を調査すること。

提案手法

• 正規測地線に沿って、$G$-不変な2形式の特別な基底に埋め込まれたケーラー形式を記述する滑らかな写像 $f = (f_1, \dots, f_5)$ を用いて、$G$-不変な近似ケーラー構造をパrameter化する。
• 近似ケーラー条件および $d\omega$ の安定性から導かれる、$f_i$ の成分に関する常微分方程式系に問題を還元する。
• 再帰的関係を用いて構成された形式的べき級数解を用い、Malgrangeの定理により滑らかな解の存在を保証する。
• 対称性を用いて、$t=0$ での滑らかさを保証するように、$\mathcal{P}(t)$ の滑らかな解を構成する。これはテイラー展開における奇数次項の不在に起因する。
• ノルム $||\widehat{A}||$ および関数 $h_2, h_3, h_4$ の解析性を分析することで、得られた構造がエインシュタイン的かつ実解析的であることを確認する。
• 2つの構造が等長であるための必要十分条件が、初期データ $b_1 = c_1 > 0$ が一致することであることを示し、$G$-可換性と軌道保存性を用いて等長性の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G = \mathrm{SU}_2 \times \mathrm{SU}_2$ であるとき、$G/K \times \mathbb{R}$ 上に2パラメータの非等長、$G$-不変な厳密な近似ケーラー構造の族を構成可能か？
• RQ2 これらの構造は特異な $S^3$ 軌道に滑らかに拡張され、$TS^3$ 上の新たな近似ケーラー構造をもたらすか？
• RQ3 $TS^3$ 上の $G$-不変な厳密な近似ケーラー構造の等長的モジュライ空間は何か？
• RQ4 $S^6$ および $S^3 \times S^3$ 上の既知の同一型ケースの間を滑らかに接続する、非局所的に同一型の近似ケーラー構造は存在するか？
• RQ5 初期データ $b_1$ のうち、局所的に同一型の構造に対応するのはどれか？また、それらは既知の同一型NK多様体とどのように関係するか？

主な発見

• $K = T^1_{\text{diag}}$ であるとき、$G/K \times \mathbb{R}$ 上に2パラメータの非等長、非局所的に同一型の $G$-不変な厳密な近似ケーラー構造の族が存在する。
• $TS^3$ 上に、$]0, +\infty[$ で滑らかにパラメータ化された、非等長の $G$-不変な厳密な近似ケーラー構造の1パラメータ族が存在する。
• $TS^3$ 上のそのような構造の等長的モジュライ空間は $\mathbb{R}$ に同定され、各構造は初期パrameter $b_1 = c_1 > 0$ によって一意に決定される。
• 1パラメータ族に含まれる2つの構造は局所的に同一型であり、それぞれ $S^6$ および $S^3 \times S^3$ 上の標準的近似ケーラー構造と $G$-同値である。
• 適切なスケーリングと再パラメータライゼーションの後、2つの局所的に同一型の構造は、$S^3 \times S^3$ の場合は $b_1 = \frac{1}{9}$、$S^6$ の場合は $b_1 = \frac{1}{4}$ に対応する。
• 任意の2つの $TS^3$ 上の $G$-不変な近似ケーラー構造が等長であるための必要十分条件は、初期データ $b_1$ が一致することである。これにより、モジュライ空間が $\mathbb{R}$ に同定される。