[論文レビュー] Sketching, Streaming, and Fine-Grained Complexity of (Weighted) LCS

Karl Bringmann, Bhaskar Ray Chaudhury|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、固定サイズのアルファベット上の文字列における最長共通部分列（LCS）問題の決定的スケッチおよびストリーミングアルゴリズムを提示し、空間計算量が $ olimits\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ ビットで最適であることを達成した。また、強い指数時間仮説（SETH）に基づくタイトな下界を証明し、重み付きLCSの変種におけるアルゴリズムの実行時間が $ olimits\mathcal{O}(\min\{nm, n + m^{|Σ|}\})$ であることが、低次の要因を除いて最適であることを示した。

ABSTRACT

We study sketching and streaming algorithms for the Longest Common Subsequence problem (LCS) on strings of small alphabet size $|Σ|$. For the problem of deciding whether the LCS of strings $x,y$ has length at least $L$, we obtain a sketch size and streaming space usage of $\mathcal{O}(L^{|Σ| - 1} \log L)$. We also prove matching unconditional lower bounds. As an application, we study a variant of LCS where each alphabet symbol is equipped with a weight that is given as input, and the task is to compute a common subsequence of maximum total weight. Using our sketching algorithm, we obtain an $\mathcal{O}( extrm{min}\{nm, n + m^{\lvert Σ vert}\})$-time algorithm for this problem, on strings $x,y$ of length $n,m$, with $n \ge m$. We prove optimality of this running time up to lower order factors, assuming the Strong Exponential Time Hypothesis.

研究の動機と目的

• 固定サイズのアルファベット $\Sigma$ 上の文字列におけるLCSのための効率的なスケッチおよびストリーミングアルゴリズムを設計すること。先行研究では大きなアルファベットを仮定していた。
• 小規模なアルファベットにおける空間的および時間的制約下でのLCSの複雑さの理解におけるギャップを埋めること。ここでは、かつては大きなアルファベットに対してのみ強い下界が成立していた。
• 長さが高々 $L$ のすべての共通部分列を捉えるスケッチ方式を構築し、効率的な意思決定およびストリーミング計算を可能にすること。
• 強い指数時間仮説（SETH）の下で、提案されたアルゴリズムの時間的および空間的計算量が、重み付きLCS問題に対して最適であることを証明すること。
• Orthogonal Vectors（OV）問題をSETHの下で還元することで、重み付きLCS問題に対するタイトな下界を確立すること。

提案手法

• 長さ $\leq L$ のすべての共通部分列を保持するように、$x$ の部分列 $C_L(x)$ を構築し、長さが高々 $L$ の $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1})$ 個のランを用いる。
• 1パスのストリーミングアルゴリズムを用いて、$\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ の空間と、1文字あたり $\mathcal{O}(1)$ の時間で $C_L(x)$ を計算する。
• 各ランを $\mathcal{O}(\log L)$ ビットで符号化し、合計のスケッチサイズが $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ ビットとなるようにする。
• 重み付きLCS問題にOV問題を還元する。文字列 $x$ と $y$ を構築し、$\text{WLCS}(x,y) \geq \tau$ であることと、直交するペアが存在することは同値となるようにする。
• パラメータ $\alpha$ を用いて長さ比 $n/m$ を制御し、$n = m^{\alpha \pm o(1)}$ となる文字列を構築することで、タイトな下界を達成する。
• SETHの下で、重み付きLCS問題を解くには時間 $(nm)^{1-o(1)}$ 必要であり、これはアルゴリズムの実行時間と低次の要因を除いて一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定サイズのアルファベット上でのLCSに対して、サブラインアー空間を達成するスケッチまたはストリーミングアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 小規模なアルファベットの仮定下で、LCS意思決定問題に対するスケッチサイズ $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ は最適か？
• RQ3 小規模なアルファベット上での重み付きLCS問題に対して、最適な $\mathcal{O}(\min\{nm, n + m^{|Σ|}\})$ 時間のアルゴリズムを達成できるか？
• RQ4 強い指数時間仮説（SETH）は、小規模なアルファベット上での重み付きLCSに対して、より速いアルゴリズムが存在しないことを示唆するか？
• RQ5 OV問題を、SETH下での時間計算量を保ったまま、重み付きLCSに還元できるか？

主な発見

• 提案されたスケッチアルゴリズムは、$\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ ビットのスケッチサイズを達成しており、定数因子を除いて最適である。
• ストリーミングアルゴリズムは $\mathcal{O}(L^{|Σ|-1}\log L)$ の空間を用い、1文字あたり $\mathcal{O}(1)$ 時間で処理し、合計の復号時間は $\mathcal{O}(L^{2|Σ|})$ である。
• 長さ $n, m$ で $n \geq m$ である文字列に対して、重み付きLCS問題の $\mathcal{O}(\min\{nm, n + m^{|Σ|}\})$ 時間のアルゴリズムが得られた。
• このアルゴリズムの実行時間は、強い指数時間仮説（SETH）の下で、低次の要因を除いて最適である。
• 論文では、SETHの下で重み付きLCSを解くには時間 $(nm)^{1-o(1)}$ 必要であり、すべての $\alpha < \sigma$ に対してタイトな難易度が確立された。
• 文字列 $x$ と $y$ の構築により、$n = m^{\alpha \pm o(1)}$ かつ $|\Sigma| = \sigma$ となるように保証され、OVから重み付きLCSへのタイトな還元が可能になった。