[論文レビュー] Skew Cyclic codes over $\F_q+u\F_q+v\F_q+uv\F_q$

Ting Yao, Minjia Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ u^2 = u $、$ v^2 = v $、$ uv = vu $、および $ q = p^m $（$ p $ を奇素数とする）を満たす環 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 上のねじれ循環符号を研究する。直交イデムポテンの分解定理に基づき、著者たちはねじれ循環符号をねじれ多項式環内のイデアルとして特徴づけ、長さ $ n $ が奇数の場合の符号の数の公式 $ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $ を導出する。ここで $ x^n - 1 = \prod p_i^{s_i}(x) $ は $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 内の因数分解である。主な貢献は、生成多項式およびグレイ写像を用いたこれらの符号の列挙と構造的特徴づけである。

ABSTRACT

In this paper, we study skew cyclic codes over the ring $R=\F_q+u\F_q+v\F_q+uv\F_q$, where $u^{2}=u,v^{2}=v,uv=vu$, $q=p^{m}$ and $p$ is an odd prime. We investigate the structural properties of skew cyclic codes over $R$ through a decomposition theorem. Furthermore, we give a formula for the number of skew cyclic codes of length $n$ over $R.$

研究の動機と目的

• 環 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 上のねじれ循環符号の構造的性質を調査すること。ここで $ u^2 = u $、$ v^2 = v $、$ uv = vu $、$ q = p^m $（$ p $ を奇素数とする）。
• 直交イデムポテン $ \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 $ を用いて、$ R $ 上のねじれ循環符号を $ \mathbb{F}_q $ 上の成分に分解して解析できる分解定理を確立すること。
• 長さ $ n $ が奇数である場合の、$ R $ 上の異なるねじれ循環符号の数の公式を、$ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 内での $ x^n - 1 $ の因数分解に基づいて導出すること。
• これらの符号のグレイ写像を調べ、$ \mathbb{F}_q $ 上の成分符号からそのパラメータを計算する方法を示すこと。

提案手法

• 環 $ R $ は直交イデムポテン $ \eta_1 = 1 - u - v + uv $、$ \eta_2 = uv $、$ \eta_3 = u - uv $、$ \eta_4 = v - uv $ を用いて、$ \mathbb{F}_q $ の4つのコピーの直和に分解され、$ R $ 上の符号の解析が $ \mathbb{F}_q^n $ への射影を通じて可能になる。
• $ R $ 上に自己同型 $ \theta $ を定義し、$ \theta(b_0 + b_1 u + b_2 v + b_3 uv) = b_0^p + b_2^p u + b_1^p v + b_3^p uv $ とすることで、ねじれ多項式環 $ R[x;\theta] $ が得られ、ねじれ循環符号を定義する基盤が構築される。
• $ R $ 上のねじれ循環符号は、$ R[x;\theta]/(x^n - 1) $ 内の単項イデアルであり、各 $ g_i(x) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上のねじれ循環符号のモニック生成多項式であるような、一意な多項式 $ g(x) = \sum_{i=1}^4 \eta_i g_i(x) $ によって生成されることを示した。
• 長さ $ n $ が奇数である場合の、$ R $ 上の異なるねじれ循環符号の数は、$ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $ として計算され、ここで $ x^n - 1 = \prod_{i=1}^r p_i^{s_i}(x) $ は $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 内の既約多項式への因数分解である。
• グレイ写像 $ \Phi: R^n \to \mathbb{F}_q^{4n} $ を用いて、$ R $ 上の符号を $ \mathbb{F}_q $-線形符号に持ち上げ、距離を保ち、Plotkin和を用いて特定のパラメータを持つ符号の構成を可能にする。
• $ R $ 上のねじれ循環符号の双対符号 $ C^\perp $ もねじれ循環符号であり、$ \sum_{i=1}^4 \eta_i \widetilde{h_i}(x) $ によって生成され、$ |C^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg(g_i(x))} $ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 上のねじれ循環符号を、分解定理を用いてどのように構造的に特徴づけられるか？
• RQ2 長さ $ n $ が奇数である場合の、$ R $ 上の異なるねじれ循環符号の正確な数は何か？また、$ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 内での $ x^n - 1 $ の因数分解とどのように関係するか？
• RQ3 グレイ写像は、$ R $ 上のねじれ循環符号をどのように $ \mathbb{F}_q $-線形符号に変換するか？また、その結果得られる符号のパラメータは何か？
• RQ4 $ R $ 上のねじれ循環符号がいつ $ R $ 上の巡回符号と同値となるか？この同値性は符号の列挙にどのように影響するか？

主な発見

• 長さ $ n $ が奇数である場合の、$ R $ 上の異なるねじれ循環符号の数は $ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $ である。ここで $ x^n - 1 = \prod_{i=1}^r p_i^{s_i}(x) $ は $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 内の既約多項式への因数分解であり、$ p_i(x) $ は既約で、$ s_i $ はその指数である。
• $ R $ 上のすべてのねじれ循環符号は、$ R[x;\theta]/(x^n - 1) $ 内の単項イデアルであり、各 $ g_i(x) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上のねじれ循環符号のモニック生成多項式であるような一意な多項式 $ g(x) = \sum_{i=1}^4 \eta_i g_i(x) $ によって生成される。
• $ R $ 上のねじれ循環符号 $ C $ の双対符号 $ C^\perp $ もねじれ循環符号であり、$ \sum_{i=1}^4 \eta_i \widetilde{h_i}(x) $ によって生成され、$ |C^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg(g_i(x))} $ が成り立つ。ここで $ \widetilde{h_i}(x) $ は $ h_i(x) $ の逆多項式のねじれ随伴である。
• グレイ写像 $ \Phi $ は、$ (R^n, d_L) $ から $ (\mathbb{F}_q^{4n}, d_H) $ への $ \mathbb{F}_q $-線形等長写像であり、リー距離とハミング距離を保つ。
• $ R $ 上のねじれ循環符号 $ C = \eta_1 C_1 \oplus \eta_2 C_2 \oplus \eta_3 C_3 \oplus \eta_4 C_4 $ のグレイ写像は、$ \Phi(C) = (C_1 \oplus_P C_2) \oplus_P (C_3 \oplus_P C_4) $ と表され、ここで $ \oplus_P $ はPlotkin和を表す。
• 長さ $ n $ が奇数である場合、$ R $ 上のすべてのねじれ循環符号は、$ R $ 上の巡回符号と同値である。これは、この場合、ねじれ構造が新たな符号を生成しないことを意味する。