[論文レビュー] $sl_n$ level 1 conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$

Maxim Arap, Angela Gibney+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上の $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 コンフォーマルブロックスから生じる対称的で半アーマブルな除数を研究する。これらの除数の類を計算し、対称的ネフ錐における極値線を生成することを証明し、それらに関連する写像がハッセットの重み付き点付き曲線モジュライ空間を経由して因数分解されることを示し、還元写像を通じてこれらの除数の幾何的実現を与える。

ABSTRACT

We study a family of semiample divisors on the moduli space $\bar{M}_{0,n}$ that come from the theory of conformal blocks for the Lie algebra $sl_n$ and level 1. The divisors we study are invariant under the action of $S_n$ on $\bar{M}_{0,n}$. We compute their classes and prove that they generate extremal rays in the cone of symmetric nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$. In particular, these divisors define birational contractions of $\bar{M}_{0,n}$, which we show factor through reduction morphisms to moduli spaces of weighted pointed curves defined by Hassett.

研究の動機と目的

• 対称的除数の幾何的および数値的性質を、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上の $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 コンフォーマルブロックスから生じるものとして理解すること。
• これらの除数の類をネロン＝セベリ群において計算し、対称的ネフ除数の錐内での位置を特定すること。
• これらの除数が定める双有理的収縮写像が、重み付き点付きモジュライ空間へのハッセットの還元写像を経由して因数分解されることを確立すること。
• 除数 $D^{n}_{1,j}$ が $j = 2, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor$ に対して対称的ネフ錐における極値線を張ることを証明すること。

提案手法

• 著者たちは、$\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 におけるコンフォーマルブロックスの理論を用い、関連するベクトル束のランクが 1 であることに着目し、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上に除数 $D^{n}_{1,j}$ を定義する。
• 発展的な公式を用いてこれらの除数の類を計算し、Fakhruddin の結果を基にし、ConfBlocks Macaulay2 パッケージを用いて実装する。
• 各除数に対応する最小のハッセット空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$ を特定し、写像が対応する還元写像 $\rho_{\mathcal{A},N}$ を経由して因数分解されることを証明する。
• 命題 4.1 で得られる $F$-曲線の基底を用いて、$D^{n}_{1,j}$ と自明に交わる $\lfloor n/2 \rfloor - 1$ 個の独立な $F$-曲線の族 $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ を構成する。
• 任意の非自明な非負線形結合が交差積の非負性を破る可能性があることを示すことにより、極値性を証明する。
• 明示的な行列計算とケース解析（図 3–4）を用いて、$F$-曲線の線形独立性および除数類の極値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上の $\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 コンフォーマルブロックス除数が、対称的ネフ錐における極値線を生成するか。
• RQ2 これらの除数が定める写像が、重み付き点付きモジュライ空間へのハッセットの還元写像を経由して因数分解可能か。
• RQ3 除数 $D^{n}_{1,j}$ のネロン＝セベリ群における正確な類は何か。
• RQ4 $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ 内の $F$-曲線が $D^{n}_{1,j}$ の極値性とどのように関係するか。
• RQ5 $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ 内の $F$-曲線は $H_2(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}, \mathbb{Q})$ 内で線形独立か。

主な発見

• $j = 2, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor$ に対して除数 $D^{n}_{1,j}$ は、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上の対称的ネフ除数の錐における極値線を張する。これは、それらと自明に交わる $\lfloor n/2 \rfloor - 1$ 個の独立な $F$-曲線の族を構成することで示された。
• $D^{n}_{1,j}$ に付随する写像 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n} \to X$ は、除数によって定まる最小のハッセット空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$ への還元写像 $\rho_{\mathcal{A},N}: \overline{\mathcal{M}}_{0,n} \to \overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$ を経由して因数分解される。
• $D^{n}_{1,j}$ の類はネロン＝セベリ群において明示的に計算され、対称的ネフ錐内に位置することを確認した。これにより、そのグローバル生成性と双有理的性が裏付けられた。
• $\mathcal{G}^{n}_{1,j}$ は、$D^{n}_{1,j}$ と次数 0 で交わる $\lfloor n/2 \rfloor - 1$ 個の独立な $F$-曲線からなる族であり、極値性の証明に不可欠である。
• 極値性の証明は、命題 4.1 の $F$-曲線の基底と、13 種類の行列配置の詳細なケース解析（図 3–4）に依拠しており、線形独立性が確認された。
• Fakhruddin が $\mathfrak{sl}_2$ に対して得た以前の因数分解結果を、$\mathfrak{sl}_n$ レベル 1 に拡張し、ハッセットのモジュライ空間を通じてコンフォーマルブロックス除数の新しい幾何的解釈を提供した。