[論文レビュー] Slow entropy and symplectomorphisms of cotangent bundles

Urs Frauenfelder, Felix Schlenk|ArXiv.org|Apr 1, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンpact多様体の余接 bundle 上の symplectomorphism に対して、多項式成長の類似物としての slow entropy—slow volume growth—を導入する。主なクラス、特にコンパクトに台を持つハミルトニアン微分同相写像およびデーン回転型写像において、非恒等写像に対して $ s_1 $ および $ s_d $ の鋭い一様下界を確立し、適切な条件下で $ s_1(\varphi) \geq 1 $ および $ s_d(\varphi) \geq 1 $ を証明する。

ABSTRACT

We consider an entropy-type invariant which measures the polynomial volume growth of submanifolds under the iterates of a map, and we establish sharp uniform lower bounds of this invariant for the following classes of symplectomorphisms of cotangent bundles over a compact base: 1) non-identical compactly supported symplectomorphisms which are symplectically isotopic to the identity, 2) symplectomorphisms generated by classical Hamiltonian functions, 3) Dehn twist like symplectomorphisms over compact rank one symmetric spaces.

研究の動機と目的

• 余接 bundle 上の symplectomorphism に対して、多項式成長の類似物としての topological entropy—slow volume growth—を定義し、解析する。
• 特にハミルトニアンおよびデーン回転型写像を含む特定のクラスにおける非恒等 symplectomorphism に対して、slow volume growth $ s_i(\varphi) $ の一様下界を確立する。
• これらの下界の代数的および幾何的意味を検討し、特にコンパクト台付き symplectomorphism 群の恒等成分に関して考察する。
• 結果を $ C^\infty $-滑らかから $ C^1 $-滑らか symplectomorphism に拡張し、不変量の安定性を保証する。
• slow volume growth と微分ノルムの成長を比較し、新たな不変量 $ \gamma(\varphi) $ を導入し、slow entropy の結果からその下界を導出する。

提案手法

• 各次元 $ i $ の slow volume growth を $ s_i(\varphi) = \sup_{\sigma \in \Sigma_i} \liminf_{n \to \infty} \frac{\log \mu_g(\varphi^n(\sigma))}{\log n} $ で定義し、反復写像による多項式的体積成長を測定する。
• Yomdin–Newhouse 理論を用いて指数的体積成長と topological entropy の関係を確立し、それを多項式的領域に適応する。
• P-多様体上のデーン回転型写像に対して、Lagrangian Floer homology を用いて $ HF_*(\vartheta^m(D_x), D_y) $ を計算し、$ m \neq 0 $ のとき非自明であることを証明する。
• 凸 symplectic多様体における擬複素曲線の横断性を確立し、Floer homology 群が適切に定義されることを保証する。
• ハミルトニアンの場合に作用汎関数の非有界性を用いて、基本群に関する条件の下で $ s_1(\varphi_H) \geq 1 $ を導出する。
• 近似により $ C^\infty $-滑らかな symplectomorphism から $ C^1 $-滑らかな写像へと結果を拡張し、体積成長の $ C^1 $-位相における連続性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非恒等な $ \varphi \in \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $ に対して、slow volume growth $ s_i(\varphi) $ の鋭い下界は何か？
• RQ2 slow entropy は、恒等写像に $ C^\infty $-同倫可能ではあるが、$ C^\infty $-symplectic同倫ではない symplectomorphism をどのように区別するか？
• RQ3 slow volume growth は、$ \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $ の群に非自明な代数的構造（たとえば、ねじれの欠如）を検出できるか？
• RQ4 slow volume growth $ s_i(\varphi) $ と微分ノルムの成長 $ \gamma(\varphi) $ の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 slow entropy に関する結果は、$ C^\infty $-滑らかから $ C^1 $-滑らか symplectomorphism へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 任意の非恒等な $ \varphi \in \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $ に対して、slow volume growth は $ s_1(\varphi) \geq 1 $ を満たし、この下界は鋭い。
• 基本群 $ \pi_1(B) $ に有限または無限個の共轭類をもつ $ T^*B $ 上の古典的ハミルトニアン系に対して、$ s_1(\varphi_H) \geq 1 $ が成り立つ。
• コンパクトなランク1の対称空間 $ B $ を持つ $ T^*B $ 上のデーン回転型 symplectomorphism に対して、$ s_d(\varphi) \geq 1 $ が成り立つ。ここで $ d = \dim B $ である。
• 非恒等な写像に対して、slow differential growth $ \gamma(\varphi) $ は $ \gamma(\varphi) \geq 1 $ を満たす。
• 近似と $ C^1 $-位相における体積成長の連続性を用いて、結果は $ C^1 $-滑らかな symplectomorphism へ拡張可能である。
• 下界 $ s_i(\varphi) $ の存在は、$ \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $ にねじれが存在しないことを示し、群構造が slow entropy 不変量によって制約されることを示唆する。