[論文レビュー] Smarandache semirings, semifields and semivector spaces

W. B. Vasantha Kandasamy|ArXiv.org|May 1, 2003

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、同じ演算の下でより強い代数的構造を備えた適切な部分集合を備える代数的構造としてのSmarandache半環、半体、半ベクトル空間を導入し、それらを調査する。これらの構造の基礎的性質と関係を確立し、一般数学における非結合的および弱代数的系の理論に寄与する。

ABSTRACT

Generally, in any human field, a Smarandache Structure on a set A means a weak structure W on A such that there exists a proper subset B which is embedded with a stronger structure S. By proper subset one understands a set included in A, different from the empty set, from the unit element if any, and from A. These types of structures occur in our every day's life, that's why we study them in this book. Thus, as three particular cases: 1) A Smarandache semiring is a semiring A such that a proper subset B of A is a semifield (with respect to the same induced operation). 2) A Smarandache semifield is a semifield A such that a proper subset B of A is a k-semi algebra, with respect to the same induced operations and an external operator. 3) A Smarandache semivector space is a semivector space A (over a semifield B) which is a Smarandache semigroup.

研究の動機と目的

• Smarandache半環を、同じ演算の下で半体をなす適切な部分集合を含む半環として形式化し、それらを研究すること。
• Smarandache半体を、同じ演算および外部作用素に関してk-半代数をなす適切な部分集合を含む半体として定義し、それらを分析すること。
• Smarandache半ベクトル空間を、半体上の半ベクトル空間であり、かつSmarandache半群であるものとして調査すること。
• Smarandache構造の概念を、特に半環および半ベクトル空間の文脈において、非結合的および弱代数的系へと拡張すること。
• 122ページの詳細な解説と64枚の図を支援する包括的な理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• Smarandache半環を、誘導された演算の下で半体をなす適切な部分集合Bを備える半環Aとして定義する。
• Smarandache半体を、同じ演算および外部作用素に関してk-半代数をなす適切な部分集合Bを備える半体Aとして定義する。
• Smarandache半ベクトル空間を、半体B上の半ベクトル空間Aとして定義し、AがSmarandache半群であることも要求する。
• 適切な部分集合の概念を用いて、より強い代数的構造をより弱いものに埋め込み、非自明性と構造的階層を保証する。
• 弱い構造が強い構造を持つ適切な部分集合を含むというSmarandache構造の一般枠組みを、半環論的および半ベクトル空間の文脈に適用する。
• 一般数学からの既存の代数的定義を活用し、特に結合的または分配的でない場合にそれらをSmarandache設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半環がSmarandache半環と分類されるために満たすべき条件は何か？
• RQ2 どのようにして、適切な部分集合におけるk-半代数を介して、半体にSmarandache構造を付与できるか？
• RQ3 半体上の半ベクトル空間がどのようにSmarandache半群となり、その結果どのような含意が生じるか？
• RQ4 Smarandache構造の性質が半環および半ベクトル空間において、古典的代数的構造とどのように異なるか？
• RQ5 適切な部分集合を介してより強い代数的系をより弱いものに埋め込むことの構造的および操作的結果は何か？

主な発見

• 論文は、同じ誘導された演算の下で半体をなす適切な部分集合を含む半環としてのSmarandache半環の正式な定義を確立した。
• 論文は、k-半代数をなす適切な部分集合を備える半体としてのSmarandache半体の概念を導入し、同じ系内での代数的強度の階層を拡張した。
• 論文は、半体上の半ベクトル空間であり、かつSmarandache半群であるものとしてのSmarandache半ベクトル空間を定義し、半群と半ベクトル空間の構造を結びつけた。
• 122ページの理論的枠組みと64枚の図を用いて、弱いと強い代数的部分構造の相互作用を体系的に分析した。
• 半環および半ベクトル空間の文脈においてSmarandache構造を形式化することで、一般化代数の広い分野に寄与し、非結合的および弱代数的系における研究の新たな道筋を提供した。
• 結果はAmerican Research Pressによって出版され、DOIを介してarXivで入手可能であり、学術的追跡可能性と査読済みの可視性を保証している。