[論文レビュー] Smooth quotients of abelian surfaces by finite groups

Robert Auffarth, Giancarlo Lucchini Arteche+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、原点を固定し、非可約な解析的表現を持つ有限群作用 $A = E^2$（$E$ は楕円曲線）の分類を行い、商 $A/G$ が滑らかであるための必要十分条件を示し、$A/G \simeq \mathbb{P}^2$ であることを証明している。分類により、各楕円曲線 $E$ に対して、同型を除いて有限個の such pairs $(E^2, G)$ が存在することが示され、有限群によるアーベル多様体の滑らかな商の分類が完成する。

ABSTRACT

Let $A$ be an abelian surface and let $G$ be a finite group of automorphisms of $A$ fixing the origin. Assume that the analytic representation of $G$ is irreducible. We give a classification of the pairs $(A,G)$ such that the quotient $A/G$ is smooth. In particular, we prove that $A=E^2$ with $E$ an elliptic curve and that $A/G\simeq\mathbb P^2$ in all cases. Moreover, for fixed $E$, there are only finitely many pairs $(E^2,G)$ up to isomorphism. This completes the classification of smooth quotients of abelian varieties by finite groups started by the first two authors.

研究の動機と目的

• 原点を固定し、非可約な解析的表現を持つ有限群 $G$ によるアーベル曲面 $A$ のすべてのペア $(A, G)$ を分類すること。
• このような群作用のうち、どの作用が滑らかな商 $A/G$ を与えるかを特定すること。
• 著者らの先行研究に基づき、有限群によるアーベル多様体の滑らかな商の分類を完成させること。
• すべての滑らかな商が $A = E^2$ であり、$A/G \simeq \mathbb{P}^2$ であることを示し、各楕円曲線 $E$ に対してそのような群が有限個しか存在しないことを確立すること。

提案手法

• 群 $G$ の解析的表現が非可約であるという仮定を用いて、原点における接空間上の群作用の可能性を制限する。
• 複素トーラスおよびその商に関する有限群作用の理論の結果を適用する。
• アーベル曲面が楕円曲線の積 $E^2$ として表せることを活用し、群作用を分析する。
• 不変量およびモジュライ論的議論を用いて、ペア $(E^2, G)$ の同型類を分類する。
• 表現論的技法を用いて、群 $G$ の接空間への作用とその商特異点への影響を分析する。
• 幾何的およびコhomologicalな制約を用いて、唯一可能な滑らかな商が $\mathbb{P}^2$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約な解析的表現を持ち、原点を固定する有限群 $G$ がアーベル曲面 $A$ に作用するとき、どのような群作用が滑らかな商 $A/G$ を与えるか？
• RQ2 このような群作用のもとで、$A/G$ が滑らかであるとき、アーベル曲面 $A$ の構造はどのようになるか？
• RQ3 $A/G$ が $\mathbb{P}^2$ に同型になることは可能か？ もしそうなら、$G$ と $A$ にどのような条件が必要か？
• RQ4 固定された楕円曲線 $E$ に対して、$A/G$ が滑らかであるような非同型ペア $(E^2, G)$ はいくつ存在するか？
• RQ5 アーベル曲面の場合における、有限群によるアーベル多様体の滑らかな商の完全な分類は何か？

主な発見

• 商 $A/G$ が滑らかで、$G$ が非可約な解析的表現を持つとき、アーベル曲面 $A$ はある楕円曲線 $E$ に対して $E^2$ に同型でなければならない。
• すべての滑らかな商 $A/G$ は $\mathbb{P}^2$ に同型である。
• 固定された楕円曲線 $E$ に対して、$A/G$ が滑らかであるようなペア $(E^2, G)$ の同型類は有限個しかない。
• 非可約な解析的表現を持つ有限群によるアーベル曲面の滑らかな商の分類は、完全に完成している。
• 著者らが開始した、有限群によるアーベル多様体の滑らかな商の分類を、この結果が拡張し、完成させている。