[論文レビュー] SO(9) characterisation of the Standard Model gauge group

Kirill Krasnov|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2019

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特定の虚数単位オクタニオンの選択によって誘導される複素構造 $J_R$ による $\mathbb{O}^2$ スピノル空間上での、標準模型ゲージ群 $G_{\rm SM}$ を $\mathrm{Spin}(9)$ の部分群として、直接的かつ明示的な特徴付けを提供する。主な結果は、$G_{\rm SM}$ がオクタニオンの非可換性から自然に生じることであり、これは実正規直交群 $\mathrm{SO}(9)$ から標準模型ゲージ群の出現を幾何学的かつ代数的に説明するものである。

ABSTRACT

A recent series of works by M. Dubois-Violette, I. Todorov and S. Drenska characterised the SM gauge group GSM as the subgroup of SO(9) that, in the octonionic model of the later, preserves the split O=C+C3 of the space of octonions into a copy of the complex plane plus the rest. This description, however, proceeded via the exceptional Jordan algebras J3(O), J2(O) and and this sense remained indirect. One of the goals of this paper is to provide as explicit description as possible and also clarify the underlying geometry. The other goal is to emphasise the role played by different complex structures in the spaces O and O2. We provide a new characterisation of GSM: The group GSM is the subgroup of Spin(9) that commutes with of a certain complex structure J in the space O2 of Spin(9) spinors. The complex structure J is parametrised by a choice of a unit imaginary octonion. This characterisation of GSM is essentially octonionic in the sense that J is restrictive because octonions are non-associative. The quaternionic analog of J is the complex structure in the space H2 of Spin(5) spinors that commutes with all Spin(5) transformations.

研究の動機と目的

• 標準模型ゲージ群 $G_{\rm SM}$ を例外的ジョルダン代数を介さない直接的・明示的な方法で $\mathrm{SO}(9)$ 内に記述すること。
• 虚数オクタニオンによる $\mathbb{O}$ および $\mathbb{O}^2$ 上の複素構造の幾何的役割を明確にすること、特に左乗算と右乗算の区別を明確にすること。
• $G_{\rm SM}$ が $\mathrm{Spin}(9)$ スピノル空間 $\mathbb{O}^2$ 上の特定の複素構造 $J_R$ の中心化群として得られることを示し、$\mathrm{SO}(9)$ からの $G_{\rm SM}$ の出現を説明すること。
• オクタニオンの非可換性が可能な複素構造を制限し、$G_{\rm SM}$ を一意に選択することの役割を強調すること。
• クaternion的 $\mathrm{Spin}(5)$ の場合と類似性を示し、$\mathbb{H}^2$ 上の類似複素構造がすべての $\mathrm{Spin}(5)$ 変換と可換であるのに対し、構成の概念的単純性を強調すること。

提案手法

• $\mathrm{Spin}(9)$ を $\mathbb{O} \oplus \mathbb{O}$ 上で作用するクリフォード代数生成子を用いて $\mathrm{SO}(9)$ の部分群として構成し、$\mathbf{x} \in \mathbb{O}$ に対する左乗算作用素 $L_{\mathbf{x}}$ を用いる。
• $\mathrm{Spin}(9)$ スピノル空間 $\mathbb{O}^2$ 上に、単位虚数オクタニオンによる右乗算を用いて複素構造 $J_R$ を定義する。この作用は非可換性を持つため、許容される対称性が制限される。
• $J_R$ における $\mathrm{Spin}(9)$ の中心化群を計算し、それが正確に $G_{\rm SM}$、すなわち標準模型ゲージ群に一致することを示す。
• 類似構成をクォータニオン的アナロジーと比較する。$\mathrm{Spin}(5)$ の場合、$\mathbb{H}^2$ 上の類似複素構造の中心化群は $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)/\mathbb{Z}_2$ であり、これは $G_{\rm SM}$ と同型である。
• $\mathrm{SO}(8)$ の三重性自己同型を用いて、オクタニオン構造と $\mathrm{Spin}(9)$ 表現との関係を確立し、オクタニオンとスピノル幾何学との接続を構築する。
• $\mathbb{O} = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}^3$ の分解が、単位虚数オクタニオンの選択に等しく、これにより複素構造 $J_R$ が誘導されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型ゲージ群 $G_{\rm SM}$ を例外的ジョルダン代数に依存せずに、$\mathrm{SO}(9)$ の部分群として明示的に特徴付けられるか？
• RQ2 単位虚数オクタニオンが $\mathrm{Spin}(9)$ スピノル空間 $\mathbb{O}^2$ 上の複素構造を定義する際に果たす幾何的役割は何か？
• RQ3 特定の複素構造 $J_R$ の中心化群がなぜ正確に $G_{\rm SM}$ になるのか、そしてオクタニオンの非可換性がその選択を強制する理由は何か？
• RQ4 この構成のクォータニオン的アナロジーは何か？そして、それはオクタニオン的結果の単純さと自然さをどのように裏付けるか？
• RQ5 複素構造の選択によるゲージ群の出現メカニズムは、$\mathrm{SO}(10)$ のような他のGUT群へ一般化可能か？

主な発見

• $G_{\rm SM}$ は、$\mathbb{O}^2$ 上の複素構造 $J_R$ と可換な $\mathrm{Spin}(9)$ の部分群として特定され、$J_R$ は単位虚数オクタニオンによる右乗算によって誘導される。
• $J_R$ はオクタニオンの非可換性により非可換であるため、対称性群が正確に $G_{\rm SM}$ に制限され、これは標準模型ゲージ群の幾何的起源を提供する。
• この構成は直接的かつ明示的であり、従来の研究で用いられる例外的ジョルダン代数を介する間接的経路を回避し、明確な代数的・幾何的説明を提供する。
• クォータニオン的アナロジーにおいて、$\mathrm{Spin}(5)$ の場合、$\mathbb{H}^2$ 上の類似複素構造の中心化群は $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)/\mathbb{Z}_2$ であり、これは $G_{\rm SM}$ と同型である。このことは、メカニズムの整合性を確認する。
• $\mathbb{O} = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}^3$ の分解が、単位虚数オクタニオンの選択に等しく、これにより複素構造 $J_R$ が誘導され、結果として $G_{\rm SM}$ が選択されることを示した。
• 本稿は、$G_{\rm SM}$ がヒッグス機構や追加の場を介さずに、スピノル空間上の複素構造の選択によって $\mathrm{SO}(9)$ から生じることを確立し、深いつながりを示している。