[論文レビュー] Solvability of coupled FBSDEs with quadratic and superquadratic growth

Peng Luo, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、制御変数における2次および超2次成長を示す結合型前向き・後向きストキャスティック微分方程式（FBSDE）の解の存在および一意性を確立する。先行研究を拡張し、マルコフ型の場合には有界でない終端条件を扱い、非マルコフ型の場合にはマリヤン微分可能性および生成子の分離可能性条件を用いて正則性仮定を緩和する。

ABSTRACT

We derive two existence and uniqueness results for multi-dimensional and coupled systems of forward-backward SDEs when the generator of the backward equation may have quadratic growth in the control variable and the parameters of the forward equation are Lipschitz continuous. In the Markovian setting, we show existence and uniqueness in the superquadratic case for unbounded terminal conditions. This result extends to the non-Markovian case under a boundedness condition on the Malliavin derivative of the terminal conditio n and the generator. Furthermore, this condition can be dropped if the generator can be separated into a quadratic and a subquadratic part, and the terminal condition bounded. In this case the solution exist s on a small time interval.

研究の動機と目的

• 制御変数における2次成長を示す多次元結合型FBSDEの解の存在および一意性を確立すること。
• マルコフ型仮定の下で、有界でない終端条件を伴う超2次成長生成子に対する既存結果の拡張。
• 非マルコフ型設定において、終端条件および生成子のマリヤン微分の有界性制約を導入することで、正則性条件を緩和すること。
• 生成子が2次および準2次部分に分離可能であり、終端条件が有界である場合、マリヤン微分条件を除去できることを示すこと。
• 一般非マルコフ型設定において、分離可能性および有界性仮定の下で、局所時間区間における存在を示すこと。

提案手法

• 非マルコフ型生成子を有する前向き・後向きSDE理論を用い、2次および超2次成長条件の下で事前推定を適用する。
• マリヤン積分を用いて終端条件および生成子の正則性を制御し、より弱い仮定の下でも存在結果を得る。
• 非マルコフ型設定への拡張を可能にするために、終端条件および生成子のマリヤン微分に対する有界性条件を課す。
• 生成子を2次および準2次成分に分解することで、有界な終端条件の場合のマリヤン微分要件を緩和する。
• 適切な関数空間上で固定点定理を用いて存在および一意性を証明し、特に一般ケースの局所時間区間において有効である。
• 前向き係数のリプシッツ連続性および後向き成分における成長制御を用いて、適切な定式化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御変数における2次成長を示す結合型FBSDEが、どのような条件下で一意解を有するか？
• RQ2 マルコフ型設定において、有界でない終端条件を伴う超2次成長生成子に対して、存在および一意性を確立できるか？
• RQ3 非マルコフ型設定において、マリヤン微分条件をどのように緩和または除去できるか？
• RQ4 生成子および終端条件にどのような構造的仮定を課すと、一般非マルコフ型枠組みにおける局所時間区間における存在が保証されるか？
• RQ5 生成子が2次および準2次部分に分離可能であるという性質が、解の存在条件にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• 前向き係数がリプシッツ連続である限り、制御変数における2次成長を示す結合型FBSDEに対して、解の存在および一意性が確立される。
• マルコフ型の場合、有界でない終端条件を伴う超2次成長に対して、解の存在および一意性の結果が拡張可能である。
• 非マルコフ型の場合、終端条件および生成子のマリヤン微分に対する有界性条件が成立する限り、解が存在する。
• 生成子が2次および準2次部分に分離可能であり、終端条件が有界である場合、マリヤン微分条件を除外できる。
• 上記の分離可能性および有界性仮定の下で、一般非マルコフ型設定において、小さな時間区間で一意解が存在する。
• より一般な成長および終端条件構造を許容する点で、先行研究を一般化する結果が得られた。