[論文レビュー] Solvability of Naiver-Stokes equations in some rearrangement invariant spaces

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、解の事前推定を導出し、再配置不変空間、特にグランドルベーグ空間（GLS）とモーメント空間において、多次元ナビエ＝ストークス方程式の大域的適切性を確立する。解はすべての時間においてこれらの空間で有界のままであることが示され、初期データのGLSノルムにおける振る舞いに基づくノルム推定を用いて、$L_p$および$L_2$空間における古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove that the multidimensional dimensional initial value problem for the Navier-Stokes equations is globally well-posed in the so-called Moment and Grand Lebesgue Spaces (GLS), and give some a priory estimations for solution in this spaces.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式の古典的可解性結果を、$L_p$および$L_2$空間を超えて、再配置不変関数空間の広いクラスへと拡張すること。
• 初期値問題に関して、グランドルベーグ空間（GLS）およびモーメント空間において、一般な初期データの条件下で大域的適切性を確立すること。
• これらの関数空間における解の鋭い事前推定を導出し、解の振る舞いに関する新たな定性的および定量的知見を可能にすること。
• 崔らによる以前の結果、特に$p > d$を満たす$L_2 \cap L_p$初期データを扱うものに、$\mathrm{GLS}$およびモーメント空間の全クラスへと一般化すること。
• 解の減衰および正則性を特徴づけることで、数値的手法およびさらなる解析のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 熱半群$e^{t\Delta}$およびヘルムホルツ＝ヴァイエル投影$Q$を含む積分方程式を用いて、ナビエ＝ストークス方程式を弱解として定式化する。
• 関数$\psi$が対数凸性を持つ正の関数であるとき、ノルム$||h||_{G(\psi)} = \sup_{p \in (a,b)} ||h||_p / \psi(p)$で定義されるグランドルベーグ空間（GLS）の理論を適用する。
• リーマン変換および擬微分作用素表現を用いて圧力項を表現し、発散なし形式にシステムを再定式化する。
• 初期データの$G(\psi)$ノルムおよび次元$d$に依存する定数を用いて、解の$L_p$ノルムを時間に一様に推定する。
• 再配置不変空間の理論を適用し、補助空間$V$を用いて構築されたモーメント空間$X$における解ノルムの均一な上限を確立する。
• 新しいノルム$||u||^*_{G\theta_{d,\psi}}$を定義することで、非等方的GLSにおける混合ノルム推定を導入し、初期データが$G\psi$に属する場合のその有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再配置不変空間において、$L_p$および$L_2$空間を超えてナビエ＝ストークス方程式の大域的適切性を確立できるか？
• RQ2 初期データがこのような空間に属する場合、グランドルベーグ空間（GLS）における解の事前推定はどのように導出できるか？
• RQ3 初期データのノルムの振る舞いから構築されたモーメント再配置不変空間における解の減衰および正則性は、どのように振る舞うか？
• RQ4 非等方的GLS空間における混合ノルム推定は、解の長期間における減衰を捉えることができるか、特に$||u(t)||_p \to 0$（$t \to \infty$）となる場合にそうか？
• RQ5 初期データの$G(\psi)$ノルムと、$G(\psi)$または関連するモーメント空間における解の均一有界性との関係は何か？

主な発見

• 初期データ$u_0 \in G(\psi)$に対して、解$u(t)$はグランドルベーグ空間$G(\psi)$において大域的適切である。$\sup_{t \geq 0} ||u(t)||_{G(\psi)} \leq \langle h_0(\cdot) \rangle$が成り立ち、ここで$h_0(p) = \max(1, \kappa_p^{2d/p}) \cdot \psi(p)$である。
• モーメント再配置不変空間$X$に対して、$\text{supp } \psi = \text{supp } V$の条件下で、解は$\sup_{t \geq 0} |||u(t)|||_X \leq \langle h_0(\cdot) \rangle$を満たす。ここで$h_0(p)$は上記と同じである。
• もし$\sup_{2 \leq p < b} \psi^{1/p}(p) < \infty$を満たすならば、$G(\psi)$における解ノルムは均一に有界である：$\sup_t ||u(t)||_{G(\psi)} < \infty$。
• 混合ノルム推定において、解は$||u||^*_{G\theta_{d,\psi}} \leq 1$を満たす。ここで$\theta_{d,\psi}(p) = \left[ \frac{B_{2.1}(d,p)}{p} \right]^{1/r(p)} \cdot \psi^{2/(p-d+2)}(d) \cdot \psi^{(p-d)/(p-d+2)}(p)$かつ$r(p) = \frac{p(p-d+2)}{p-d}$である。
• $||u||^*_{G\theta_{d,\psi}} \leq 1$の推定は、解が時間とともに$L_p$ノルムで減衰することを示しており、$t \to \infty$のとき$||u(t)||_p \to 0$という既知の漸近的挙動と整合的である。
• 崔らの以前の結果を一般化し、$\psi(p)$がゆっくり変化する重み関数を有する空間を含む、再配置不変空間の広いクラスへと可解性枠組みを拡張した。