[論文レビュー] Solvable model for a dynamical quantum phase transition from fast to slow scrambling

Sumilan Banerjee, Ehud Altman|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Oct 14, 2016

Theoretical and Computational Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、周辺サイトに二次的フェルミオン浴を結合させることで、Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) モデルの解ける拡張を提案する。これにより、周辺サイト比 p が臨界値 p_c を超えると、速いスクラッチング非フェルミ液体相（リャプノフ指数 λ_L = 2πT）から、遅いスクラッチングフェルミ液体的相（λ_L ∝ T²）への連続的量子相転移が可能になる。相転移は SYK 相互作用のスクリーニングによって駆動され、両相とも大 N 限界において厳密に解ける。

ABSTRACT

We propose an extension of the Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model that exhibits a quantum phase transition from the previously identified non-Fermi liquid fixed point to a Fermi liquid like state, while still allowing an exact solution in a suitable large $N$ limit. The extended model involves coupling the interacting $N$-site SYK model to a new set of $pN$ peripheral sites with only quadratic hopping terms between them. The conformal fixed point of the SYK model remains a stable low energy phase below a critical ratio of peripheral sites $pp_c$ the quadratic sites effectively screen the SYK dynamics, leading to a quadratic fixed point in the low temperature and frequency limit. The interactions have a perturbative effect in this regime leading to scrambling with Lyapunov exponent $λ_L\propto T^2$.

研究の動機と目的

• 速いスクラッチングと遅いスクラッチングを示す二つの異なる低エネルギー固定点の間をつなぐ連続的量子相転移を実現する解けるモデルを構築すること。
• SYK モデルを二次的フェルミオン浴サイトに結合させることで、低エネルギー行動およびスクラッチング特性に及ぼす影響を調査すること。
• 速いスクラッチングから遅いスクラッチングへの相転移の臨界条件を特定し、相転移に伴うリャプノフ指数の普遍的および非普遍的挙動を分析すること。
• 臨界点 p_c における残余エントロピーの連続的消失とクロスオーバー スケールの振る舞いを検討し、p_c 以下の領域で共形固定点の安定性を検証すること。

提案手法

• SYK モデルを拡張し、M 個の周辺サイトに二次的 hopping 項 (t_αβ) を導入し、N 個の SYK サイトとランダム hopping (V_iα) で結合する。ここで M/N = p とする。
• N → ∞ の大 N 限界を用い、M = pN とすることで、N および M に依存する係数をハミルトニアン項に組み込み、適切な熱力学的スケーリングを保証する。
• ガウス分布に従うランダム結合 (J_ijkl, t_αβ, V_iα) に対して disorder averaging を適用し、相関関数と自己エネルギーを計算する。O(1/N) 段階でラダーダイアグラムのみを保持する。
• リタードおよび Wightman グリーン関数の厳密なスペクトル表現を導出し、ガンマ関数の恒等式を用いてリャプノフ指数の固有値方程式を解く。
• 混沌沌支配領域では、リタードおよび Wightman 関数のスペクトル表現を用い、リャプノフ指数 λ_L = 2πhT が解析的構造に埋め込まれている。
• 恒等式 ∫ du' |Γ(1/2 + i(u−u'))|² |Γ(1/4 + h/2 + iu')|² = 2π Γ(1/2 + h)/Γ(3/2 + h) |Γ(3/4 + h/2 + iu)|² を用いて、固有値方程式の厳密解を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SYK モデルに、速いスクラッチングから遅いスクラッチングへの相転移を引き起こす量子相転移を誘発できるか。その両側の固定点の性質は何か。
• RQ2 周辺サイト比 M/N = p が非フェルミ液体固定点の安定性および二次的固定点の出現にどのように寄与するか。
• RQ3 二つの相におけるリャプノフ指数 λ_L の振る舞いは何か。臨界点で λ_L が λ_L = 2πT から λ_L ∝ T² へどのようにクロスオーバーするか。
• RQ4 臨界点 p_c において残余エントロピーは連続的に消失するか。フェルミオン占有数 n に依存するか。
• RQ5 相転移に跨る OTOC およびその 1/N 細かい補正の振る舞いは何か。V_iα 結合がスクリーニングを媒介する役割を果たすか。

主な発見

• p < p_c(n) の場合、系は非フェルミ液体相にあり、安定した共形固定点を示し、リャプノフ指数は量子限界に達する： λ_L = 2πT。
• 臨界点 p = p_c(n) において、共形領域へのクロスオーバーを示す温度スケールが連続的に消失し、T → 0 における残余エントロピーも連続的に消失する。
• p > p_c(n) の場合、二次的フェルミオン浴が SYK 相互作用をスクリーニングし、λ_L ∝ T² となる自由な低エネルギー固定点が出現し、遅いスクラッチングを示す。
• 臨界比 p_c(n) は、結合定数 J, t, V とは無関係にフェルミオン占有数 n のみに依存する。
• OTO プロトコルの 1/N 細かい補正はラダーダイアグラムを用いて計算され、χ および η フィールドを含む関数 F_3 は F_1 に対して (JT/V²)√(p/(1−p)) の因子で抑制される。
• 共形極限におけるグリーン関数の厳密解はガンマ関数で表され、リャプノフ指数の固有値方程式は、ガンマ関数を含む既知の積分恒等式を用いて検証される。