[論文レビュー] Solving Problems on Graphs of High Rank-Width

Eduard Eiben, Robert Ganian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、モジュレータのサイズとランク幅を組み合わせたハイブリッドパラメータであるwell-structure number（wsn^H）を導入し、大きなが well-structured なモジュレータを持つグラフにおけるNP困難なグラフ問題に対する固定パラメータ可 tractable（FPT）アルゴリズムを可能にする。有限の禁止部分グラフによって定義されるグラフクラスに対して、wsn^H を計算するFPTアルゴリズムを提示し、モノアディック第二階論理（MSO）で表現可能な問題が wsn^H でパラメータ化された場合にFPTであることが示され、一方でLinEMSO問題はそうではないことから、結果のタイトさが示されている。

ABSTRACT

A modulator of a graph G to a specified graph class H is a set of vertices whose deletion puts G into H. The cardinality of a modulator to various tractable graph classes has long been used as a structural parameter which can be exploited to obtain FPT algorithms for a range of hard problems. Here we investigate what happens when a graph contains a modulator which is large but "well-structured" (in the sense of having bounded rank-width). Can such modulators still be exploited to obtain efficient algorithms? And is it even possible to find such modulators efficiently? We first show that the parameters derived from such well-structured modulators are strictly more general than the cardinality of modulators and rank-width itself. Then, we develop an FPT algorithm for finding such well-structured modulators to any graph class which can be characterized by a finite set of forbidden induced subgraphs. We proceed by showing how well-structured modulators can be used to obtain efficient parameterized algorithms for Minimum Vertex Cover and Maximum Clique. Finally, we use well-structured modulators to develop an algorithmic meta-theorem for deciding problems expressible in Monadic Second Order (MSO) logic, and prove that this result is tight in the sense that it cannot be generalized to LinEMSO problems.

研究の動機と目的

• モジュレータのサイズとランク幅を組み合わせた新しい構造的パラメータを考案し、より複雑なグラフ構造を捉えること。
• 有限の禁止部分グラフによって定義されるグラフクラス H に対して、well-structure number wsn^H をFPT時間で計算するアルゴリズムを設計すること。
• Minimum Vertex Cover や Maximum Clique などの問題が、ターゲットクラス H で可 tractable である限り、wsn^H でパラメータ化された場合にFPTになることを示すこと。
• wsn^H でパラメータ化されたFPT MSOモデルチェックのためのメタ定理を確立し、その必要性とタイトネスを証明すること。
• LinEMSO問題が wsn^H でパラメータ化された場合にFPT時間で解けないことを示し、このアプローチの境界を明らかにすること。

提案手法

• split分解とランク幅分解を用いて、グラフクラス H へのモジュレータの最小ランク幅として well-structure number wsn^H(G) を定義する。
• split分解の多項式時間アルゴリズムとランク幅のFPTアルゴリズムを組み合わせ、wsn^H をFPT時間で計算する。
• ランク分解上で動的計画法を適用し、wsn^H でパラメータ化された場合の Minimum Vertex Cover および Maximum Clique を解く。
• H における問題の可 tractability と wsn^H パラメータを用いて、FPT MSOモデルチェックのためのメタ定理を構築する。
• C4 を含まない次数 ≤3 のグラフ上の支配集合問題への還元を構築し、wsn^H でパラメータ化された MSO-Opt^≤_φ が paraNP 困難であることを示し、タイトネスを証明する。
• 代表集合と関係 ≡ における同値類を用いて、分岐アルゴリズムにおける探索空間を制限し、正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きなが well-structured なモジュレータ（有界ランク幅を有する）は、NP困難なグラフ問題に対するFPTアルゴリズムを得るために活用可能か？
• RQ2 有限の禁止部分グラフによって定義されるグラフクラス H に対して、well-structure number wsn^H をFPT時間で計算することは可能か？
• RQ3 モノアディック第二階論理（MSO）で表現可能な問題は、wsn^H でパラメータ化された場合に固定パラメータ可 tractable か？
• RQ4 wsn^H でパラメータ化されたFPT MSOモデルチェックにおいて、H におけるFPT可 tractability が条件として必要か？
• RQ5 LinEMSO問題は wsn^H でパラメータ化された場合にFPT時間で解けるか、それとも境界がタイトか？

主な発見

• well-structure number wsn^H は、モジュレータのサイズおよびランク幅の両方よりも厳密に一般化されており、より広範なアルゴリズム的応用を可能にする。
• 有限の障害集合を有する任意のグラフクラス H に対して、split分解とランク幅計算を組み合わせたFPTアルゴリズムが存在し、wsn^H を計算可能である。
• ターゲットクラス H で多項式時間で解ける限り、Minimum Vertex Cover および Maximum Clique は wsn^H でパラメータ化された場合にFPTである。
• H における問題のFPT可 tractability を前提とすれば、wsn^H でパラメータ化されたMSOモデルチェックがFPTであることを示すメタ定理が確立される。
• H におけるFPT可 tractability が必要条件であることが、wsn^H でパラメータ化された MSO-Opt^≤_φ の paraNP 困難性によって示された。
• LinEMSO問題は wsn^H でパラメータ化された場合にFPT時間で解けないため、メタ定理がタイトであり、LinEMSO に一般化できないことが示された。