[論文レビュー] On the existence of 0/1 polytopes with high semidefinite extension complexity

Jop Briët, Daniel Dadush+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、0/1多面体が指数的高さの半定値拡張複雑度を有することを確立する。具体的には、頂点数dの整数多角形の族を構築し、その半定値拡張複雑度がΩ((d/log d)^{1/4})のオーダーで増加することを示す。証明は、半定値因子分解のための新規なスケーリング技術と一般化された丸め込み補題に依拠し、可能な因子分解の数を制限することで、任意のスぺクトラヒドロンがその多面体に射影する場合、最悪ケースでは次元2^{Ω(n)}の半定値錐と交差しなければならないことを示している。

ABSTRACT

In Rothvoß it was shown that there exists a 0/1 polytope (a polytope whose vertices are in \{0,1\}^{n}) such that any higher-dimensional polytope projecting to it must have 2^{Ω(n)} facets, i.e., its linear extension complexity is exponential. The question whether there exists a 0/1 polytope with high PSD extension complexity was left open. We answer this question in the affirmative by showing that there is a 0/1 polytope such that any spectrahedron projecting to it must be the intersection of a semidefinite cone of dimension~2^{Ω(n)} and an affine space. Our proof relies on a new technique to rescale semidefinite factorizations.

研究の動機と目的

• ローヴォスの線形拡張複雑度に関する指数的結果に続く、0/1多面体が高次な半定値拡張複雑度を有するかどうかという未解決問題を解決すること。
• 線形プログラミングから半定値プログラミングへの拡張形式の枠組みを拡張し、半定値拡張複雑度に対する強い下界を証明すること。
• 超多項式的PSD拡張複雑度を有する多面体の構築を可能にする、半定値因子分解のための新しいスケーリング法を開発すること。
• 線形拡張複雑度のカウンティング・アーギュメントを半定値設定に一般化し、スぺクトラヒドロン表現に対応できるようにすること。
• 0/1多面体において、線形と半定値の拡張形式の間の複雑度ギャップが、最悪ケースでも持続することを示すこと。

提案手法

• 頂点座標が有界な0/1多面体のスラック行列の可能な半定値因子分解の数を制限するために、一般化された丸め込み補題（補題3）を適応する。
• 任意の半定値因子分解を有理数成分が有界な形に変換するスケーリング技術を用い、カウンティング・アーギュメントを可能にする。
• 頂点が[2d]×[4d²]に含まれるd角形を表すことができる、異なる線形および半定値制約系の数をカウントする。
• このような制約系の数を(c d¹⁴)^{(3+R²)²}として評価し、Rの下界を得る。ここでRは半定値拡張複雑度である。
• サイズdの凸独立集合から作られる異なるd角形の数が、小規模な因子分解可能な系の数を上回ることに着目し、Rが大きいことを強制する。
• 一般化されたヤナカキスの定理に従い、スラック行列の半定値ランクを半定値拡張複雑度の代理として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元に関して指数的高さの半定値拡張複雑度を有する0/1多面体は存在するか？
• RQ2 線形拡張複雑度に用いられるカウンティングベースの下界技法を半定値設定に拡張できるか？
• RQ3 半定値因子分解をスケーリングして、半定値ケースにおける組合せ的カウンティング・アーギュメントを可能にする体系的な方法はあるか？
• RQ4 0/1多面体の半定値拡張複雑度は、線形拡張複雑度よりも速く増加するか？
• RQ5 多角形の半定値拡張複雑度に対する下界を鋭くするか、あるいはそれがタイトであることを証明できるか？

主な発見

• 頂点が[2d]×[4d²]に含まれるd角形である0/1多面体が存在し、その半定値拡張複雑度はΩ((d/log d)^{1/4})である。
• そのような多角形のスラック行列の異なる半定値因子分解の数は、(c d¹⁴)^{(3+R²)²}で抑えられる。ここでRは拡張複雑度である。
• カウンティング・アーギュメントにより、R ≥ c′(d/log d)^{1/4}（c′ > 0の定数）が得られ、超多項式的下界が確立される。
• 構成により、その多面体に射影する任意のスぺクトラヒドロンは、アフィン空間と次元2^{Ω(n)}の半定値錐と交差しなければならない。
• この結果により、0/1多面体の半定値拡張複雑度が指数的に高くなることが確認され、ローヴォスの線形拡張複雑度に関する結果と一致する。
• 本稿は、半定値因子分解に適した新しいスケーリング技術を導入し、半定値拡張複雑度への組合せ的カウンティングの適用を可能にした。