[論文レビュー] Some Bounds on Binary LCD Codes

Lucky Galvez, Jon-Lark Kim+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$1 \leq k \leq n \leq 12$ に対して、二進 $[n,k,d]$ LCD 符号の最大最小距離 $d$ である $LCD[n,k]$ の正確な値を確立し、$i \geq 2$ かつ $n \geq 2^i$ の場合に $LCD[n,n-i] = 2$ であることを証明する。また、主成分行列と生成行列の行列式を用いて、$k$ が奇数の場合は $LCD[n,k] \leq LCD[n,k-1]$、$k$ が偶数の場合は $LCD[n,k] \leq LCD[n,k-2]$ という再帰的上界を得る。

ABSTRACT

A linear code with a complementary dual (or LCD code) is defined to be a linear code $C$ whose dual code $C^{\perp}$ satisfies $C \cap C^{\perp}$= $\left\{ \mathbf{0} ight\} $. Let $LCD{[}n,k{]}$ denote the maximum of possible values of $d$ among $[n,k,d]$ binary LCD codes. We give exact values of $LCD{[}n,k{]}$ for $1 \le k \le n \le 12$. We also show that $LCD[n,n-i]=2$ for any $i\geq2$ and $n\geq2^{i}$. Furthermore, we show that $LCD[n,k]\leq LCD[n,k-1]$ for $k$ odd and $LCD[n,k]\leq LCD[n,k-2]$ for $k$ even.

研究の動機と目的

• 小規模なパrameter $n \leq 12$ に対して、二進 $[n,k,d]$ LCD 符号の最大最小距離 $d$ である $LCD[n,k]$ の正確な値を特定すること。
• コードの次元 $k$ に基づいた $LCD[n,k]$ の構造的境界を確立し、特定の偶奇条件の下で $k$ に関して非増加であることを示すこと。
• 特に $n$ が偶数または奇数で、$d$ が $n$ に近い場合に、高最小距離を持つ LCD 符号の存在と非存在を調査すること。
• 新しい境界と総当たり探索を用いて、以前に報告された $LCK[n,d]$（与えられた $n,d$ に対する最大 $k$）の値を訂正・更新すること。

提案手法

• 著者たちは、特に $k=2$ の場合に、Griesmer 境界を用いて $[n,k,d]$ 符号の $d$ に対する上界を導出し、明示的な生成行列を構築してその境界に到達することを試みる。
• 彼らは、コードが LCD であるための必要十分条件である命題 2.2（$\det(GG^T) \neq 0$ であること）を用いて、構築したコードの LCD 性を検証する。
• 再帰的境界の導出には、生成行列の主成分行列を分析し、ランクの議論を用いて $LCD[n,k]$ と $LCD[n,k-1]$、$LCD[n,k-2]$ の関係を導く。
• 彼らは、パリティと次元の制約により $d > 2$ となるような符号が存在できないことの証明を通じて、$i \geq 2$ かつ $n \geq 2^i$ の場合に $LCD[n,n-i] = 2$ であることを示す。
• MAGMA を用いた総当たり探索により、小規模な $n,k$ に対して $LCD[n,k]$ を計算し、結果の妥当性を検証するとともに、$LCK[n,d]$ 表における過去の誤りを是正する。
• 一般に非存在の条件を導出し、$n$ が偶数で $n > 6i$ のとき $LCK[n,n-2i] = 0$、$n$ が奇数で $n > 6i+3$ のとき $LCK[n,n-2i-1] = 0$ であることを、Griesmer 境界とパリティの議論を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $1 \leq k \leq n \leq 12$ に対して、$LCD[n,k]$ の正確な値は何か？
• RQ2 $k$ の関数として最大最小距離 $d$ が再帰的に境界づけられるか。また、$k$ の偶奇がこの境界にどのように影響するか？
• RQ3 $n \geq 2^i$ かつ $i \geq 2$ の場合、$LCD[n,n-i]$ は常に 2 に等しいか。その理由は何か？
• RQ4 なぜ $d=n$ または $d=n-1$ となるような高距離 LCD 符号は、$n$ が偶数のとき存在しないのか？
• RQ5 新しい理論的境界と総当たり計算を用いて、過去に報告された $LCK[n,d]$ の値をどのように是正できるか？

主な発見

• すべての $1 \leq k \leq n \leq 12$ に対して $LCD[n,k]$ の正確な値が計算され、$n \equiv 1, \pm 2, 3 \pmod{6}$ のとき $LCD[n,2] = \left\lfloor \frac{2n}{3} \right\rfloor$ である。
• $i \geq 2$ かつ $n \geq 2^i$ の場合に $LCD[n,n-i] = 2$ であることが証明され、次元 $n-i$ の符号の最小距離に対する鋭い上界が示された。
• $LCD[n,k]$ は $k$ に関して非増加である：$k$ が奇数の場合は $LCD[n,k] \leq LCD[n,k-1]$、$k$ が偶数の場合は $LCD[n,k] \leq LCD[n,k-2]$ であり、主成分行列のランク解析によって確立された。
• 本稿では、先行研究における $LCK[n,d]$ の誤った値を是正し、特に $n$ が偶数で $d = n-2i$ かつ $n > 6i$ のとき $LCK[n,d] = 0$ であり、$n$ が奇数で $d = n-2i-1$ かつ $n > 6i+3$ のとき $LCK[n,d] = 0$ であることを特定した。
• MAGMA を用いた総当たり探索により、計算された $LCD[n,k]$ の値が確認され、小規模なパrameter に対して理論的境界が妥当であることが検証された。
• 二進 LCD 符号の $[n,k,d]$ 符号の最大可能な最小距離が、Griesmer 境界とパリティの制約によって制限されることを示した。特に $k=2$ の場合に顕著である。