[論文レビュー] Some characterizations of Hom-Leibniz algebras

A. Nourou Issa|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ホム・アキビス代数を導入し、ホム・パワー結合的性質を分析することで、ホム・ライブニッツ代数におけるライブニッツ代数の性質のホムアナローグを同定する。左ホム・ライブニッツ代数がホム・パワー結合的であるための必要十分条件は、すべての $x$ に対して $α(x)x^2 = 0$ であることであることを証明し、$x^n = 0$（$n \geq 3$）が成り立つことを示し、$α$-捩じれ左累乗を用いてライブニッツ代数のバーナーズの結果をホム設定に一般化する。

ABSTRACT

Some basic properties of Hom-Leibniz algebras are found. These properties are the Hom-analogue of corresponding well-known properties of Leibniz algebras. Considering the Hom-Akivis algebra associated to a given Hom-Leibniz algebra, it is observed that the Hom-Akivis identity leads to an additional property of Hom-Leibniz algebras, which in turn gives a necessary and sufficient condition for Hom-Lie admissibility of Hom-Leibniz algebras. A necessary and sufficient condition for Hom-power associativity of Hom-Leibniz algebras is also found.

研究の動機と目的

• ライブニッツ代数の既知の性質をホム代数設定に拡張すること。
• ホム・ライブニッツ代数におけるホム・リー適性とホム・パワー結合的性質を調査すること。
• $\alpha$-捩じれ左累乗を用いて、バーナーズの左ライブニッツ代数の特徴づけをホム文脈に一般化すること。
• ホム・パワー結合的性質の必要十分条件を $\alpha(x)x^2 = 0$ の形で確立すること。

提案手法

• ホム・ライブニッツ代数に付随するホム・アキビス代数を導入し、ホム・アキビス恒等式を導出する。
• ホム・結合子と定義されるホム・ライブニッツ恒等式 $\alpha(x)\cdot yz = xy\cdot\alpha(z) + \alpha(y)\cdot xz$ を用いて構造的性質を導出する。
• すべての $n \geq 2$ に対して $a^n = \alpha^{n-2}(a)a^{n-1}$ と定義される $n$ 番目の左ホム累乗を用いて、パワー結合的性質を一般化する。
• ヤウ（2010）の補題 5.2 を用いて、ホム・パワー結合的性質と条件 $x^2\alpha(x) = \alpha(x)x^2$ および $x^4 = \alpha(x^2)^2$ を結びつける。
• $\alpha$ の乗法性と帰納法を用いて、左ホム・ライブニッツ代数における $x^n = 0$（$n \geq 3$）を証明する。
• 恒等式 $a^n \alpha(z) = 0$ を繰り返し適用することで、鍵となる結果 $L_{a^n} \circ \alpha = 0$（$n \geq 2$）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホム・ライブニッツ代数におけるライブニッツ恒等式のホムアナログは何か。また、ホム・アキビス恒等式とはどのように関係するか。
• RQ2 ホム・ライブニッツ代数がホム・リー適性を満たすための条件は何か。
• RQ3 ホム・ライブニッツ代数がホム・パワー結合的であるための条件は何か。
• RQ4 ホム・ライブニッツ代数における $\alpha$-捩じれ左累乗 $a^n$ はどのように振る舞うか。
• RQ5 バーナーズの左ライブニッツ代数の特徴づけは、ホム設定に一般化可能か。

主な発見

• 任意の左ホム・ライブニッツ代数の元 $x$ に対して、恒等式 $x^{n+1} = x^n \alpha^{n-1}(x)$ を用いた帰納法により、すべての $n \geq 3$ に対して $x^n = 0$ が成り立つ。
• 左ホム・ライブニッツ代数 $(L, \cdot, \alpha)$ がホム・パワー結合的であるための必要十分条件は、すべての $x \in L$ に対して $α(x)x^2 = 0$ であること。これはヤウ（2010）の補題 5.2 に基づく。
• $\alpha(x)x^2 = 0$ という条件により、ホム・パワー結合的性質に必要な二つの条件 $x^2\alpha(x) = \alpha(x)x^2$ および $x^4 = \alpha(x^2)^2$ が両方とも満たされる。
• すべての $n \geq 2$ およびすべての $a \in L$ に対して、左乗算作用素 $L_{a^n} \circ \alpha = 0$ が成り立つ。これはバーナーズの結果をホム設定に一般化する。
• $\alpha = \text{Id}$ のとき、結果は既知の左ライブニッツ代数の特徴づけに還元され、$x^n = 0$（$n \geq 3$）および $xx^2 = 0$ がパワー結合的性質の条件として成立する。
• 関連するホム・アキビス代数におけるホム・アキビス恒等式は、性質 $\alpha(x)\cdot yz = xy\cdot\alpha(z) + \alpha(y)\cdot xz$ に対応し、ホム・ライブニッツ恒等式がライブニッツ恒等式のホムアナログであることを確認する。