[論文レビュー] Some computations of 1-cohomology groups and construction of non orbit equivalent actions

Sorin Popa|ArXiv.org|Jul 12, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、弱い剛性群を一般化する新しいクラス $ w\tilde{\mathcal{T}} $ に属する群の自由でエルゴディックな測度保存作用について、1次コホモロジー群を計算し、任意の可換な可算群 $ \Lambda $ に対して $ \mathrm{H}^1(\sigma_\Lambda, G) \cong \mathrm{Char}(G) \times \Lambda $ が位相群として成り立つことを示すことにより、非可算個の軌道同値でない作用を構成する。主な貢献は、コストや $ \ell^2 $-ベッチ数といった従来の不変量を凌駕する、1次コホモロジーが軌道同値でない作用を区別する強力な不変量であることを確立することにある。

ABSTRACT

For each group $G$ having an infinite normal subgroup with the relative property (T) (for instance $G = H imes K$ where $H$ is infinite with property (T) and $K$ is arbitrary), and any countable abelian group $Λ$ we construct free ergodic measure preserving actions $σ_Λ$ of $G$ on the probability space such that the 1'st cohomology group of $σ_Λ$, $H^1(σ_Λ)$, is equal to Char$(G) imes Λ$. We deduce that $G$ has uncountably many non stably orbit equivalent actions. We also calculate 1-cohomology groups and show existence of ``many'' non stably orbit equivalent actions for free products of groups as above.

研究の動機と目的

• 可算離散群 $ G $ の広範な自由でエルゴディックなm.p.作用について、1次コホモロジー群 $ \mathrm{H}^1(\sigma, G) $ を計算すること。
• 性質(T)や弱い剛性群に限らず、$ \mathrm{H}^1 $ が明示的に計算可能な群の範囲を拡張すること。
• 互いに同型でない $ \mathrm{H}^1 $-群を持つ、自由でエルゴディックなm.p.作用の連続的族を構成し、それらが軌道同値でないことを示すこと。
• 1次コホモロジーが、群そのものだけでなく作用の内容にも依存するため、コストや $ \ell^2 $-ベッチ数よりも洗練された不変量であることを示すこと。
• 自由群のような非弱い剛性群に対して、変形／剛性技法が $ \mathrm{H}^1 $ を計算する際に抱える制限を明らかにすること。

提案手法

• 相対的性質(T)と $ G $ におけるwq正規性を満たす無限大部分群 $ H $ を含む可算群のクラス $ w\tilde{\mathcal{T}} $ を導入する。
• 群 $ G $ のベルヌーイシフト作用 $ \sigma $ を、$ \prod_{g \in G} (\mathbb{T}, \lambda)_g $ 上に定義する。
• 群 $ \Gamma $ の作用 $ \beta $ が $ \sigma $ と可換であり、不変な代数的部分構造に制限されることで、$ \sigma $ の商 $ \sigma^\Gamma $ を構成する。
• 公式 $ \mathrm{H}^1(\sigma^\Gamma, G) \cong \mathrm{Char}(G) \times \mathrm{Char}_\beta(\Gamma) $ を用い、位相群としての同型を適用する。
• 任意の可算アーベル群 $ \Lambda $ が、ある $ \Gamma $-作用 $ \beta $ に対して $ \mathrm{Char}_\beta(\Gamma) $ として実現可能であるという事実を活用する。
• ベルヌーイシフトの柔軟性と、$ N \otimes N $ 上の $ \mathbb{R} $-作用 $ \alpha $ を用いて、コサイクルの漸近的挙動を分析し、特定の条件下でコホモロジーが自明であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い剛性群や性質(T)群に限らず、より広いクラスの群について、1次コホモロジー群 $ \mathrm{H}^1(\sigma, G) $ を明示的に計算できるか？
• RQ2 与えられた群 $ G $ に対して、互いに軌道同値でない非可算個の自由でエルゴディックなm.p.作用を構成できるか？
• RQ3 1次コホモロジーは、コストや $ \ell^2 $-ベッチ数よりも、軌道同値でない作用を区別するのに効果的か？
• RQ4 自由群のような非弱い剛性群に対して、変形／剛性技法が $ \mathrm{H}^1 $ を計算する際に抱える制限は何か？
• RQ5 コサイクル $ w \in \mathrm{Z}^1(\sigma, G) $ が文字にコホモロジカルに同値である条件は何か？また、ユニタリ表現を用いてどのように検出できるか？

主な発見

• 任意の $ G \in w\tilde{\mathcal{T}} $ と任意の可算離散アーベル群 $ \Lambda $ に対して、$ \mathrm{H}^1(\sigma_\Lambda, G) \cong \mathrm{Char}(G) \times \Lambda $ が位相群として成り立つような自由でエルゴディックなm.p.作用 $ \sigma_\Lambda $ が存在する。
• $ \mathrm{H}^1(\sigma^\Gamma, G) $ は、$ \mathrm{Char}_\beta(\Gamma) $ を $ \Gamma $ 上の $ \beta $-歪み付き文字とすると、$ \mathrm{Char}(G) \times \mathrm{Char}_\beta(\Gamma) $ に同型である。
• この構成により、$ G $ の自由でエルゴディックなm.p.作用の連続的族が得られ、それらの $ \mathrm{H}^1 $-群は互いに同型でないため、それらは互いに軌道同値でないことが示される。
• 本論文では、1次コホモロジーが、群そのものだけでなく作用の内容にも依存するため、コストや $ \ell^2 $-ベッチ数といった従来の不変量を上回る有効なOE不変量であることが示された。
• 自由群 $ \mathbb{F}_n $ に対しては、ベルヌーイシフトの1次コホモロジーが $ \tilde{\mathrm{H}}^1(\sigma, \mathbb{F}_n) = \{1\} $ を満たすことが示され、この場合における不変量の有効性が限定的であることが示唆される。
• コサイクル $ w \in \mathrm{Z}^1(\sigma, G) $ が文字にコホモロジカルに同値であるための必要十分条件は、関連する表現 $ \pi_t $ が自明表現と、左正則表現の繰り返しの部分表現の直和に同値であることである。