[論文レビュー] Some evaluation of cubic Euler sums

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

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ひとこと要約

本稿では、Tornheim型級数に基づく新規アプローチを開発し、立方型Euler和の評価を行う。$ S_{1^2m,m} $ や $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ のような和が、リーマンゼータ関数値、二次および一次の和に還元されることを証明する。さらに、ある種の深さ4の多重ゼータ値が深さ3のものに還元されることを示し、交代型立方和が交代型二次および一次和に還元可能であることを確立する。

ABSTRACT

P. Flajolet and B. Salvy \cite{FS1998} prove the famous theorem that a nonlinear Euler sum $S_{i_1i_2\cdots i_r,q}$ reduces to a combination of sums of lower orders whenever the weight $i_1+i_2+\cdots+i_r+q$ and the order $r$ are of the same parity. In this article, we develop an approach to evaluate the cubic sums $S_{1^2m,p}$ and $S_{1l_1l_2,l_3}$. By using the approach, we establish some relations involving cubic, quadratic and linear Euler sums. Specially, we prove the cubic sums $S_{1^2m,m}$ and $S_{1(2l+1)^2,2l+1}$ are reducible to zeta values, quadratic and linear sums. Moreover, we prove that the two combined sums involving multiple zeta values of depth four \[\sum\limits_{\left\{ {i,j} ight\} \in \left\{ {1,2} ight\},i e j} {ζ\left( {{m_i},{m_j},1,1} ight)}\quad { m and}\quad \sum\limits_{\left\{ {i,j,k} ight\} \in \left\{ {1,2,3} ight\},i e j e k} {ζ\left( {{m_i},{m_j},{m_k},1} ight)} \] can be expressed in terms of multiple zeta values of depth $\leq 3$, here $2\leq m_1,m_2,m_3\in \N$. Finally, we evaluate the alternating cubic Euler sums ${S_{{{\bar 1}^3},2r + 1}}$ and show that it are reducible to alternating quadratic and linear Euler sums. The approach is based on Tornheim type series computations.

研究の動機と目的

• Tornheim型級数を用いて、立方型Euler和 $ S_{1^2m,p} $ および $ S_{1l_1l_2,l_3} $ を体系的に評価するための方法を開発すること。
• 立方型Euler和がゼータ関数値、二次および一次Euler和に還元可能となる条件を特定すること。
• 深さ4の多重ゼータ値が深さ≤3のものに還元可能かどうかを調査すること。
• 交代型立方Euler和の構造を解析し、それが交代型二次および一次和に還元可能であることを証明すること。
• Flajolet-Salvyの定理がEuler和の還元可能性に関して立方型および交代型の場合に拡張可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 立方型Euler和の評価のための核心的枠組みとして、Tornheim型級数の計算を用いる。
• 留数計算およびコーシー積分表示を適用し、和を多重ゼータ値と関連付ける。
• 調和数の恒等式および多対数関数の展開を用いて、複雑な和を分解する。
• 一次および二次和の既知の評価値を、高次元還元の構築要素として用いる。
• 代数的変形を用いて、深さ4の多重ゼータ値を低深さのもので表現する。
• 既知の交代型Euler和および多重ゼータ値に関する結果を活用し、交代型立方和の閉形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方型Euler和 $ S_{1^2m,m} $ および $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ は、ゼータ関数値、二次および一次和で表現可能か？
• RQ2 組み合わせ和 $ extstyleigsum_{i eq j}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1} $ および $ extstyleigsum_{i eq j eq k}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1} $ は、深さ≤3の多重ゼータ値に還元可能か？
• RQ3 交代型立方Euler和 $ S_{ar{1}^3,2r+1} $ は、交代型二次および一次Euler和に還元可能か？
• RQ4 深さ4の多重ゼータ値の構造は何か？また、それらは深さ3のものに簡略化可能か？
• RQ5 Tornheim型級数は、Flajolet-Salvyの枠組みを超えて非線形Euler和を評価するためにどのように機能するか？

主な発見

• 立方和 $ S_{1^2m,m} $ および $ S_{1(2l+1)^2,2l+1} $ は、ゼータ関数値、二次および一次Euler和に還元可能である。
• 条件 $ m_i \neq m_j $、$ m_i,m_j \neq 1 $ を満たす組み合わせ和 $ extstyleigsum_{i eq j}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j,1,1} $ は、深さ≤3の多重ゼータ値に還元される。
• 条件 $ m_i,m_j,m_k \neq 1 $ を満たす和 $ extstyleigsum_{i eq j eq k}inom{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1}{ ext{m}_i, ext{m}_j, ext{m}_k,1} $ は、深さ3の多重ゼータ値に還元される。
• 交代型立方Euler和 $ S_{ar{1}^3,2r+1} $ は、交代型二次および一次Euler和に還元可能である。
• $ S_{ar{1}^3,3} $ の明示的評価により、$ \text{Li}_5(1/2) $、$ \ln 2 $ の累乗、ゼータ関数値、および $ \zeta^*(\bar{5},\bar{1}) $、$ \zeta^*(4,\bar{2}) $ を含む閉形式が得られた。
• 恒等式 $ \zeta^*(\bar{4},2) + 4\zeta^*(\bar{5},1) = -\frac{1105}{192}\zeta(6) + \frac{3}{4}\zeta^2(3) $ は、和の分解および既知の関係式により確認された。