[論文レビュー] Some Hopf Algebras of Trees

P. van der Laan|ArXiv.org|Jun 28, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自由な $n$-項演算子を持つオペラッドに基づく構成を導入することで、根付き木のコンネス＝クライマーのホップ代数を一般化する。これにより、色分けされた木やラベル付き木に対する普遍的なホップ代数構造が得られる。コマルチプライケーションと双対リーブラケットの明示的公式が確立され、特殊な場合として、平面的二分木のローダー＝ロンコホップ代数や、ブローダー＝フラベッティの剪定代数といった既知の代数が回復されることを示している。

ABSTRACT

This paper generalizes the operadic construction of the Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees by Moerdijk. Examples of Hopf algebras obtained in this way include the Loday-Ronco Hopf algebra of planar binary trees and the Brouder-Frabetti pruning Hopf algebra. In some examples we obtain a natural pre-Lie or dendriform algebra structure on the dual Hopf algebra. v2: Proof in section 8 corrected. v3: more corrections.

研究の動機と目的

• 文献に登場するさまざまな木のホップ代数を、一つのオペラッド的構成によって統一すること。
• コンネス＝クライマーのホップ代数を、色分けされた辺とラベル付き頂点を持つ木へ一般化すること。
• 得られたホップ代数に対して、コホモロジー代数のホッフ・コホモロジーにおける普遍的性質を確立すること。
• 双対代数におけるコマルチプライケーションとリーブラケットの明示的公式を導出すること。
• この構成の特殊な場合が、既知のホップ代数（ローダー＝ロンコおよびブローダー＝フラベッティ代数）を回復することを示すこと。

提案手法

• ホップオペラッド $\mathsf{P}$ に自由な $n$-項演算子 $\lambda_n$ を付加することでホップ代数 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ を構成し、コンネス＝クライマーの構成を一般化する。
• 木における許容的カットを用いてコマルチプライケーション $\Delta(t) = \sum_{c \in C(t)} P^c(t) \otimes R^c(t)$ を定義する。ここで $C(t)$ は許容的カットの集合である。
• ムールディークの手法を応用し、色分けされた木やラベル付き木への構成を拡張する。
• グラフィング操作による積の定義と、双分加法的演算子 $\prec$ および $\succ$ が満たす双分加法的恒等式を示し、その次数保存性を証明する。
• 帰納法を用いてコプロダクトのコアソシエイティビティを確立し、一般構成においては $k=n$ かつ $l=1$ のときのみ成り立つことを示す。
• 双対性を用いて、代数の積を双対空間に移し、ココメルテーションホップ代数構造を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献に登場するさまざまな木のホップ代数を、一つのオペラッド的構成が統一可能か？
• RQ2 一般化されたホップ代数 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ は、コホモロジー代数のホッフ・コホモロジーにおいてどのような普遍的性質を満たすか？
• RQ3 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ のコプロダクトがコアソシエイティブであるための条件は何か？
• RQ4 積と双分加法的演算子 $\prec$ および $\succ$ がどのように関係し、次数を保存するか？
• RQ5 既知の木のホップ代数のうち、$\mathsf{P}[\lambda_n]$ の構成の特殊な場合として回復可能なものはどれか？

主な発見

• 本稿は、ホップ代数 $\mathsf{P}[\lambda_n](0)$ のコマルチプライケーションに対して、以前の研究で帰納的定義であったものを明示的で非帰納的な公式として与える。
• ホップ代数 $\mathsf{P}[\lambda_n](0)$ の双対は自然なリーブラケットを備え、原始的元は単一の根付き木と双対をなす。
• $k=n$ かつ $l=1$ のとき、増分理想に双分加法的ホップ代数構造が得られ、双分加法的恒等式を満たす。
• 平面的二分木のローダー＝ロンコホップ代数は、$\mathsf{P} = \mathsf{P}_2$ かつ $q_{12} = q_{21} = 1$、$q_{11} = q_{22} = 0$ の場合に特殊ケースとして回復される。
• ブローダー＝フラベッティの剪定ホップ代数も、$\mathsf{P}[\lambda_n]$ の構成の特殊ケースとして回復される。
• 積 $*$ の非可換性のため、$k=n$ かつ $l=1$ 以外の $k$ と $l$ の選び方ではコプロダクトのコアソシエイティビティが成立しない。