[論文レビュー] Some Studies in Noncommutative Quantum Field Theories

Sunandan Gangopadhyay|ArXiv.org|Jun 12, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本学位論文は、Seiberg-Witten写像、双対ハミルトニアン族、およびねじれたガリレオ対称性といった複数の枠組みを通じて、非可換量子場の理論を調査する。非可換性がθの1次まででホール伝導度を保存すること、磁場中における非可換ハミルトニアンのすべての次数で等価性が保たれること、そしてねじれたガリレオ不変性がフェルミ統計を変形するが、現在のエネルギースケールでは検出可能な効果がないことを示している。

ABSTRACT

The central theme of this thesis is to study some aspects of noncommutative quantum mechanics and noncommutative quantum field theory. We explore how noncommutative structures can emerge and study the consequences of such structures in various physical models.

研究の動機と目的

• 非相対論的設定における非可換量子場理論の構造と対称性を調査すること。
• 磁場を伴う平面系において、可換・非可換量子系を結ぶSeiberg-Witten写像の役割を調査すること、特にその意義を明らかにすること。
• 非可換性パラメータθのすべての次数にわたって有効である物理的に同等の非可換ハミルトニアン族を構築すること。
• 非可換量子場理論におけるねじれたガリレオ対称性の意味を検討すること、および統計的性質に与える影響を明らかにすること。
• 有効可換モデルと非可換双対を用いて、量子ホール系における非可換性の新たな根拠を提示すること。

提案手法

• 非可換と可換ゲージ理論を結ぶSeiberg-Witten写像を用い、U(1)⋆ゲージ不変なシュレーディンガー作用を導出する。
• スター積形式およびWeyl量子化を用いて、非可換位相空間演算子を構築し、それらが古典関数と同型であることを示す。
• 一定磁場中における自由粒子および調和振動子に対して、スペクトルがθのすべての次数にわたって保存される非可換ハミルトニアンの双対族を構築する。
• 時空対称性の下での場演算子の代数を変形することで、非相対論的場に対するねじれたガリレオ変換則を導出する。
• 正準集団において2粒子相関関数を計算し、ねじれた対称性下での統計的挙動を分析する。
• 量子ホール系の低エネルギー領域を、相対座標を最低Landau準位に射影することで分析し、相互作用によってθが再結合されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θの1次までで、非可換平面系におけるホール伝導度に非可換性がどのように影響を与えるか？
• RQ2 相互作用を伴う系において、Seiberg-Witten写像がガリレオ不変性などの対称性をどの程度保存するか？
• RQ3 自由粒子および磁場中における調和振動子に対して、θのすべての次数にわたって物理的に同等の非可換ハミルトニアンを構築できるか？
• RQ4 量子ホール系において、相互作用が非可換パラメータθにどのように再結合するか？
• RQ5 ねじれたガリレオ対称性が非可換フェルミ粒子の統計に与える影響は何か？また、パウリの排他原理の破れが観測可能になる可能性はあるか？

主な発見

• ホール伝導度は、非可換性（θ）によって1次まで補正されない。これは、非可換枠組み内でも量子ホール効果が頑健であることを示している。
• 相互作用が存在する際、Seiberg-Witten写像は標準的写像と一致しない。これは、相互作用系において素朴な等価性が破綻することを示唆している。
• 自由粒子および一定磁場中における調和振動子に対して、θのすべての次数にわたって元の系のスペクトルを保存する非可換ハミルトニアンの双対族が構築された。
• 量子ホール系において、相互作用によって非可換パラメータθが再結合され、有効なθが角運動量に依存することが判明した。
• ねじれたガリレオ対称性は回転不変性を保ち、シュレーディンガー場の代数を変形する。その結果、フェルミ粒子の統計が変形され、一致する点でのフェルミ粒子間の反発が原理的に飽和する可能性がある。
• ねじれた統計下での2粒子相関関数は、パウリの排他原理が有限かつ飽和的に破れているが、現在のエネルギースケールでは検出不可能であることを示している。