[論文レビュー] Some supercongruences modulo $p^2$

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二項係数の積を含む切り捨て超幾何的和に関する一般化された $p^2$ を法とする超合同式を確立し、特定の生成関数の平方が $p^2$ を法として元の和の変換版と一致することを証明する。主な貢献は、$p^2$ を法とする Zhi-Wei Sun の超合同式に関する複数の予想を統一的な枠組みで証明することであり、類数や虚二次体における素数の平方和またはノルムとしての表現に関連する場合を含む。

ABSTRACT

Let $p>3$ be a prime, and let $m$ be an integer with $p mid m$. In the paper we prove some supercongruences concerning $$\align &\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{54^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{4k}{2k}}{128^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{3k}k\binom{6k}{3k}}{432^k}, &\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{3k}{k}}{m^k}, \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{m^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\f{\binom{2k}k\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{m^k}\mod {p^2}.\endalign$$ Thus we solve some conjectures of Zhi-Wei Sun and the author.

研究の動機と目的

• 切り捨て和 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k} (x(1-27x))^k$ について、$p^2$ を法とする超合同式の族を証明すること。
• このような和が $p^2$ を法としてより単純な生成関数の平方に合同であることを示す一般恒等式を確立すること。
• Zhi-Wei Sun が提起した、$\binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}/m^k$、$\binom{2k}{k}^2 \binom{4k}{2k}/m^k$、および $\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}/m^k$ を含む $p^2$ を法とする超合同式に関する複数の予想を証明すること。
• 類数やヤコビ記号の条件を介して、素数の表現 $p = a^2 + 3b^2$、$p = c^2 + 2d^2$、$4p = x^2 + 19y^2$ との関連を明らかにすること。
• 従来の $p$ を法とする部分的結果を、高度な $p$-進技術と再帰的恒等式を用いて $p^2$ を法とするものに拡張・確認すること。

提案手法

• 生成関数の操作と二項係数の恒等式を用いて、一般化された合同式恒等式 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k} (x(1-27x))^k \equiv \left( \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} x^k \right)^2 \pmod{p^2}$ を導出する。
• WZ 法と記号計算（Mathematica を用いて）を用い、二項係数の畳み込み恒等式を含む重要な組合せ論的補題を証明する。
• $p$-進付値と可除性の議論を用いる：$k > p/3$ のとき $\binom{3k}{k} \equiv 0 \pmod{p}$、$k > 2p/3$ のとき $\binom{3k}{k}^2 \equiv 0 \pmod{p^2}$ であるため、$p^2$ を法とする和を切り詰め簡略化する。
• 既存の研究（例：[S3]）で得られた $p$ を法とする合同式を、主恒等式と代数的変形を用いて $p^2$ を法とするものに昇格する。
• 主恒等式を $x$ および $m$ の特定の値（例：$m = 1728$、$m = 864$、$m = -96$）に適用し、Sun の予想を回復・証明する。
• ヤコビ記号と類数の条件を用いて、最終的な合同式の結果を二次形式における素数の表現の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rodriguez-Villegas および Zhi-Wei Sun が提起した、$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}/m^k$ の形の超合同式予想が、$p^2$ を法として統一的な代数的枠組みで証明可能か。
• RQ2 $p^2$ を法として、生成関数の平方と元の和の変換版との間に一般恒等式が存在するか。
• RQ3 どの $m$ および素数 $p$ に対して $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}/m^k \equiv 0 \pmod{p^2}$ が成り立ち、これは $p$ の平方和または虚二次体におけるノルムとしての表現とどのように関連するか。
• RQ4 超合同式予想 $\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}/m^k$ が $p^2$ を法として、代数的恒等式および $p$-進解析を用いて既知の結果に還元可能か。
• RQ5 $p \equiv 1 \pmod{12}$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}/864^k$ の正確な $p$-進昇格は何か、そして類数やヤコビ記号とどのように関連するか。

主な発見

• 任意の素数 $p > 3$ および変数 $x$ に対して、恒等式 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k} (x(1-27x))^k \equiv \left( \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} x^k \right)^2 \pmod{p^2}$ が成り立つ。これは基礎的な合同式を提供する。
• $p \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、予想 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}}{(-192)^k} \equiv 0 \pmod{p^2}$ が証明され、$p \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $4p = L^2 + 27M^2$ のとき、和は $L^2 - 2p \pmod{p^2}$ に等しい。
• $\left(\frac{p}{19}\right) = -1$ のとき、予想 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{(6k)!}{(-96)^{3k}(3k)!k!^3} \equiv 0 \pmod{p^2}$ が確認され、$\left(\frac{p}{19}\right) = 1$ かつ $4p = x^2 + 19y^2$ のとき、和は $\left(\frac{-6}{p}\right)(x^2 - 2p) \pmod{p^2}$ に等しい。
• 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{1728^k} \equiv \left( \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{864^k} \right)^2 \pmod{p^2}$ が確立され、Sun の予想 A44 の証明が可能になった。
• $p \equiv 3,5,6 \pmod{7}$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{(-15)^{3k}} \equiv 0 \pmod{p^2}$ が検証され、$m = -32$、$-960$、$-5280$、$-640320$ に対しても同様の結果が、それぞれの相互法則条件の下で成り立つ。
• $p \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{54000^k} \equiv 0 \pmod{p^2}$ が成り立ち、Sun の予想 A9 が確認された。