[論文レビュー] Some Type I solutions of Ricci flow with rotational symmetry

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の回転対称 Kähler 計量を備えた複素射影空間の一点における blown up におけるリッチフローが、常にタイプ I 奇性を示すことを証明する。曲率推定と Cao の分割定理を用いて、非崩壊条件のもとで、特異点に沿う例外的除法子に沿った放物的 blown-up 限界が、ℂⁿ の一点における blown up と同相な多様体上の完備で非平坦な、収縮型勾配 Kähler-Ricci 溶媒であることを示す。

ABSTRACT

We prove that the Ricci flow on CP^n blown-up at one point starting with any rotationally symmetric Kahler metric must develop Type I singularities. In particular, if the total volume does not go to zero at the singular time, the parabolic blow-up limit of the Type I Ricci flow along the exceptional divisor is a complete non-flat shrinking gradient Kahler-Ricci soliton on a complete Kahler manifold homeomorphic to C^n blown-up at one point.

研究の動機と目的

• 任意の U(n)-不変 Kähler 計量を備えた ℂℙⁿ の一点における blown up におけるリッチフローがタイプ I 奇性を示すことを確立すること。
• 特異時における体積スケーリングの異なるスケール下での流れの漸近的挙動を分類すること。
• 体積が崩壊しない場合に、例外的除法子に沿った流れの blown-up 限界を同定すること。
• 結果をヒルツェブルシュの表面や Kähler-Einstein 多様体上の射影バンドルを含む、より広いクラスの Kähler 多様体へ一般化すること。

提案手法

• Gₙ,ₖ-不変の初期 Kähler 計量を備えた Xₙ,ₖ = ℙ(𝒪(ℂℙⁿ⁻¹) ⊕ 𝒪(ℂℙⁿ⁻¹)(-k)) に非正規化リッチフローを適用する。
• Calabi の仮定を用いて、Kähler-Ricci フローを基底 ℂℙⁿ⁻¹ 上の常微分方程式系に還元する。
• ある C>0 に対して、−C/(T−t) の形をした正の下界を持つホロモルフィックバイセクショナル曲率の均一な下界を確立する。
• 非負のホロモルフィックバイセクショナル曲率を有する Kähler-Ricci フローに Cao の分割定理を適用し、タイプ II 奇性を除外する。
• Kⱼ→∞ となるように放物的スケーリング gⱼ(t′) = Kⱼ g(T + Kⱼ⁻¹ t′) を行い、blown-up 限界を抽出する。
• Cheeger-Gromov-Hamilton 収束を用いて、限界が ℂⁿ の一点における blown up と同相な多様体上の完備で非平坦な、収縮型勾配 Kähler-Ricci 溶媒であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(n)-不変 Kähler 計量を備えた ℂℙⁿ の一点における blown up におけるリッチフローは、常にタイプ I 奇性を示すか？
• RQ2 特異時における総体積が 0 に収束しない場合、例外的除法子に沿った放物的 blown-up 限界の構造は何か？
• RQ3 blown-up 限界が非自明な完備な収縮型勾配 Kähler-Ricci 溶媒として同定可能か？
• RQ4 奇性のタイプは、体積のスケーリング下での漸近的挙動にどのように依存するか？
• RQ5 Xₙ,ₖ や Xₘ,ₙ,ₖ のような類似した対称性を有する他の Kähler 多様体に対しても、結果を一般化可能か？

主な発見

• 任意の U(n)-不変 Kähler 計量を備えた ℂℙⁿ の一点における blown up におけるリッチフローは、タイプ I 奇性を発生する。
• liminfₜ→ₜ (T−t)⁻¹ Vol(g(t)) = ∞ ならば、スケーリングされた流れは、ℂⁿ の一点における blown up と同相な多様体上の完備で非平坦な、収縮型勾配 Kähler-Ricci 溶媒に部分収束する。
• liminfₜ→ₜ (T−t)⁻¹ Vol(g(t)) ∈ (0,∞) ならば、スケーリングされた流れは、平坦部と Fubini-Study 部を備えた積計量 ℂⁿ⁻¹ × ℂℙ¹ に部分収束する。
• liminfₜ→ₜ (T−t)⁻¹ Vol(g(t)) = 0 ならば、スケーリングされた流れは、ℂℙⁿ の一点における blown up における一意のコンパクトな収縮型 Kähler-Ricci 溶媒に収束する。
• 非崩壊条件のもとで、ホロモルフィックバイセクショナル曲率は、ある C>0 に対して −C/(T−t) で一様に下から押さえられる。
• 限界溶媒は自由な U(n) アクションに関して不変であり、ℂⁿ の一点における blown up と同じ位相型を持つが、正則同型性は示されていない。