[論文レビュー] SOS-Convex Lyapunov Functions and Stability of Difference Inclusions

Amir Ali Ahmadi, Raphaël M. Jungers|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヘッセ行列の和の平方（SOS）表現による凸性の証明を備えた多項式リャプノフ関数であるSOS-凸リャプノフ関数を導入し、半正定値計画法（SDP）を用いた差分包含（離散時間スイッチング系）の安定性解析を効率的に行う手法を提案する。本稿では、このような関数がスイッチング線形系の安定性に対して必要かつ十分であることを証明するとともに、非凸多項式リャプノフ関数と比較して、凸性が最小次数を著しく増加させ得ることを示している。

ABSTRACT

We introduce the concept of sos-convex Lyapunov functions for stability analysis of both linear and nonlinear difference inclusions (also known as discrete-time switched systems). These are polynomial Lyapunov functions that have an algebraic certificate of convexity and that can be efficiently found via semidefinite programming. We prove that sos-convex Lyapunov functions are universal (i.e., necessary and sufficient) for stability analysis of switched linear systems. We show via an explicit example however that the minimum degree of a convex polynomial Lyapunov function can be arbitrarily higher than a non-convex polynomial Lyapunov function. In the case of switched nonlinear systems, we prove that existence of a common non-convex Lyapunov function does not imply stability, but existence of a common convex Lyapunov function does. We then provide a semidefinite programming-based procedure for computing a full-dimensional subset of the region of attraction of equilibrium points of switched polynomial systems, under the condition that their linearization be stable. We conclude by showing that our semidefinite program can be extended to search for Lyapunov functions that are pointwise maxima of sos-convex polynomials.

研究の動機と目的

• スイッチング線形・非線形系の安定性を、凸多項式リャプノフ関数を用いて計算的に実行可能な方法で検証するための手法を開発すること。
• スイッチング線形系の安定性に対して、共通の凸多項式リャプノフ関数の存在が必要かつ十分であるかどうかを特定すること。
• 多項式リャプノフ関数における凸性と最小次数の間のトレードオフを調査すること。
• この手法を、スイッチング多項式系の吸引域の全次元部分集合を計算するように拡張すること。
• 非線形スイッチング系の共通リャプノフ関数として、SOS-凸多項式の点ごとの最大値を用いる可能性を検討すること。

提案手法

• ヘッセ行列の和の平方（SOS）表現による凸性の証明を備えた多項式であるSOS-凸リャプノフ関数の概念を導入する。
• リャプノフ関数が正定値であること、およびすべての系のダイナミクス下での減少条件がSOS制約として表現されることを要件として、安定性条件を半正定値計画法（SDP）として定式化する。
• スイッチング線形系において、共通のSOS-凸リャプノフ関数の存在が、任意のスイッチング下での漸近的安定性の必要十分条件であることを証明する。
• パラメータ化されたリャプノフ関数族を用い、リャプノフ関数が正定値であり、その部分集合が不変であることを保証するSDPを解くことで、吸引域の推定値を構築する。
• 複数のSOS-凸多項式の点ごとの最大値としての共通リャプノフ関数の探索法を提案し、安定性認証にパス・コンプリートグラフ理論を活用する。
• 各 $ V_j $ が、ある $ k $ に対してすべての $ x \neq 0 $ で $ V_j(f_i(x)) < V_k(x) $ を満たすならば、$ W(x) = \max_j V_j(x) $ は共通リャプノフ関数である。この不等式をSOS条件として表現することで、計算可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スイッチング線形系の安定性に対して、共通の凸多項式リャプノフ関数の存在は必要かつ十分か？
• RQ2 同じ系について、凸多項式リャプノフ関数の最小次数は、非凸の場合と比べてどの程度高くなるか？
• RQ3 リャプノフ関数の凸性を活用することで、スイッチング多項式系の吸引域の全次元部分集合を計算できるか？
• RQ4 非凸リャプノフ関数が失敗する場合でも、共通の凸リャプノフ関数を用いて非線形スイッチング系の安定性を認証できるか？
• RQ5 複数のSOS-凸多項式の点ごとの最大値として共通リャプノフ関数を構築できるか？また、この方法を半正定値計画法でどのように検証できるか？

主な発見

• スイッチング線形系において、共通のSOS-凸リャプノフ関数が存在するための必要十分条件は、任意のスイッチング下での漸近的安定性である。これは、本手法の普遍性を確立する。
• 安定系であっても、凸多項式リャプノフ関数の最小次数は、非凸の場合と比べて任意に高くなる可能性がある。
• 共通の凸リャプノフ関数の存在は、スイッチング非線形系の安定性を示唆するが、非凸リャプノフ関数の存在はそれらを示唆しない。
• 線形化が安定である場合、スイッチング多項式系の吸引域の全次元部分集合を計算するための半正定値計画法を構築できる。
• K 個のSOS-凸リャプノフ関数 $ V_1, \dots, V_K $ の点ごとの最大値 $ W(x) = \max_j V_j(x) $ が共通リャプノフ関数であるための十分条件は、各 $ i,j $ に対して、すべての $ x \neq 0 $ で $ V_j(f_i(x)) < V_k(x) $ を満たす $ k $ が存在することであり、この条件はSOS制約として強制可能である。
• 提案手法により、パス・コンプリートグラフフレームワークにおける遷移インデックスの異なる選択に対応する、$ K^{m^2} $ 種類の異なるSDP定式化が得られる。