[論文レビュー] SOS Lower Bound for Exact Planted Clique

Samuel B. Hopkins|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、埋め込みクリーク問題における和の平方（SoS）階層のタイトな下界を確立する。degree-4 SoSは、$ otag\widetilde{O}(\sqrt{n})$未満の埋め込みクリークを回復できないことが証明され、degree-$2d$ SoSでは、下界が$ otag\widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$ にまで向上する。これは、従来の解析で用いられた証明多項式を、新規の補正機構により精緻化することで達成された。

ABSTRACT

The problem of finding large cliques in random graphs and its "planted" variant, where one wants to recover a clique of size $ω\gg \log{(n)}$ added to an \Erdos-\Renyi graph $G \sim G(n,\frac{1}{2})$, have been intensely studied. Nevertheless, existing polynomial time algorithms can only recover planted cliques of size $ω= Ω(\sqrt{n})$. By contrast, information theoretically, one can recover planted cliques so long as $ω\gg \log{(n)}$. In this work, we continue the investigation of algorithms from the sum of squares hierarchy for solving the planted clique problem begun by Meka, Potechin, and Wigderson (MPW, 2015) and Deshpande and Montanari (DM,2015). Our main results improve upon both these previous works by showing: 1. Degree four SoS does not recover the planted clique unless $ω\gg \sqrt n poly \log n$, improving upon the bound $ω\gg n^{1/3}$ due to DM. A similar result was obtained independently by Raghavendra and Schramm (2015). 2. For $2 < d = o(\sqrt{\log{(n)}})$, degree $2d$ SoS does not recover the planted clique unless $ω\gg n^{1/(d + 1)} /(2^d poly \log n)$, improving upon the bound due to MPW. Our proof for the second result is based on a fine spectral analysis of the certificate used in the prior works MPW,DM and Feige and Krauthgamer (2003) by decomposing it along an appropriately chosen basis. Along the way, we develop combinatorial tools to analyze the spectrum of random matrices with dependent entries and to understand the symmetries in the eigenspaces of the set symmetric matrices inspired by work of Grigoriev (2001). An argument of Kelner shows that the first result cannot be proved using the same certificate. Rather, our proof involves constructing and analyzing a new certificate that yields the nearly tight lower bound by "correcting" the certificate of previous works.

研究の動機と目的

• 埋め込みクリーク問題における情報理論的閾値（$\omega \gg \log n$）とアルゴリズム的閾値（$\omega = \Omega(\sqrt{n})$）のギャップを埋める。
• 特に低次のSoS階層が埋め込みクリークを回復する能力に限界があることを分析する。
• 近似的にタイトな下界を得るために、修正された証明多項式を構築・分析することで、先行研究のSoS下界を改善する。
• MPW証明多項式がdegree 4を超えて強いSoS下界を証明するには不十分であり、より複雑な構成が不可欠であることを示す。

提案手法

• degree-4 SoSに適した新しい証明多項式を、MPW多項式を補正することで構築し、ほぼ最適な下界を達成する。
• 適切に選ばれた基底に沿った細かいスペクトル分解を用いて、修正された作用素の固有値を制御する。
• 濃度不等式と組合せ論的道具を用いて、相関のあるエントリを持つランダムグラフにおけるモーメント期待値の乖離を分析する。
• 摂動論的議論を用いて、$ otag\omega \ll \sqrt{n}$ のとき、修正された証明器の期待値が負定値であることを示し、整数性ギャップを示す。
• 証明器を対称的成分に分解し、Grigorievの研究にインspiredされた固有空間内の対称性を活用する。
• 元のMPW証明器が同じ下界を達成できないことを示すことで、解析の最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 degree-4 SoS階層は、サイズ$\omega = \widetilde{O}(\sqrt{n})$ の埋め込みクリークを回復できるか？
• RQ2 MPW証明器は、degree 4におけるSoSのタイトな下界を証明するために十分か、それとも修正が必要か？
• RQ3 $d = o(\sqrt{\log n})$ のとき、degree-$2d$ SoSにおける埋め込みクリーク問題のタイトな下界は何か？
• RQ4 より複雑な証明器を用いることで、SoS階層は$ otag\omega = \widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$ を超えて改善可能か？
• RQ5 元のMPW証明器が強いSoS下界を導けない理由は何か？また、タイトな解析に必要な証明器の構造的特徴は何か？

主な発見

• degree-4 SoS階層は、$ otag\omega \ll \widetilde{O}(\sqrt{n})$ 未満の埋め込みクリークを回復できない。これは、以前の$n^{1/3}$の下界を改善する。
• degree-$2d$ SoSで$d = o(\sqrt{\log n})$ のとき、整数性ギャップは少なくとも$ otag\widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$ に達する。これは、多項式対数要因を除いて、既知の最良の上界と一致する。
• MPW多項式を補正した新しい証明多項式が構築され、degree 4におけるほぼタイトな下界を達成できる。
• 解析により、元のMPW証明器は強いSoS下界を証明するのに不十分であることが示され、Kelnerの議論の一般化によって裏付けられる。
• 修正された証明器のスペクトルは、基底分解を用いて分析され、主な寄与は$t = q/2$ 個の連結成分を持つ成分から生じることが判明した。
• 証明は、修正された証明器の期待値の分散が小さいことを示し、濃度不等式を用いて$ otag\omega \ll \sqrt{n}$ のとき負定値期待値を示すことが可能であることを確立した。