[論文レビュー] Space of Kähler metrics (V)-- Kähler quantization

Xiuxiong Chen, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、極小化されたケーラー多様体上のケーラー計量の無限次元空間 $\mathcal{H}$ が、ラインバンドル $L^k$ の正則切断に関連する有限次元対称空間 $\mathcal{B}_k$ の弱いグロモフ＝ハウスドルフ極限であることを確立している。geodesic距離は $k^{-(n+2)/2}$ でスケーリングされ、収束する。主な結果は、$\lim_{k\to\infty} k^{-(n+2)/2} d_{\mathcal{B}_k}(\text{Hilb}_k(\phi_0),\text{Hilb}_k(\phi_1)) = d_{\mathcal{H}}(\phi_0,\phi_1)$ であり、ケーラー幾何における幾何的量子化の枠組みを提供する。

ABSTRACT

We prove the convergence of geodesic distance during the quantization of the space of Kähler potentials. As applications, this provides alternative proofs of certain inequalities about the K-energy functional in the projective case.

研究の動機と目的

• 無限次元ケーラー計量空間 $\mathcal{H}$ を有限次元対称空間 $\mathcal{B}_k$ に結びつける幾何的量子化の枠組みを確立すること。
• 特定のスケーリングの下で $\mathcal{H}$ が $\mathcal{B}_k$ の弱いグロモフ＝ハウスドルフ極限であることを証明し、幾何的量子化における古典的極限の正当化を図ること。
• $\mathcal{B}_k$ を用いた近似により、$\mathcal{H}$ の既知の性質（例：非正曲率）の幾何的証明を提供すること。
• $\mathcal{H}$ と $\mathcal{B}_k$ 間の幾何的対象（特に測地線と角度）の $k$ が大きい極限における収束を調査すること。

提案手法

• $\mathcal{H}$ を $2\pi c_1(L)$ 内のケーラーポテンシャルの空間と定義し、Weil-Petersson $L^2$ 距離を備えることで、非正曲率の無限次元対称空間とする。
• $\mathcal{B}_k$ を $H^0(X, L^k)$ 上の正定値ヘルミート形式の空間と定義し、$GL(N_k;\mathbb{C})/U(N_k)$ に微分同相であり、非コン pact 型の対称空間である。
• 両者の空間を有限次元近似によって結ぶために、ヒルベルト写像 $\text{Hilb}_k: \mathcal{H} \to \mathcal{B}_k$ とフルビニ＝シュテュルム写像 $\text{FS}_k: \mathcal{B}_k \to \mathcal{H}$ を用いる。
• バーグマン核の漸近解析とティアンのピークセクション法を用いて、$\mathcal{B}_k$ 内の測地線距離が $k^{-(n+2)/2}$ でスケーリングされた下で $\mathcal{H}$ の距離に収束することを証明する。
• $C^l$-コンパactsな近傍上で一様収束を確立し、$\mathcal{H}$ 内の3点間の角度の収束を導く。
• 収束を応用して、アレクサンドロフ幾何学を用いた $\mathcal{H}$ の非正曲率の回復や、カルビ・フローの距離減少性といった幾何的帰結を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元空間 $\mathcal{H}$ であるケーラー計量は、適切なスケーリングの下で有限次元対称空間 $\mathcal{B}_k$ の極限として生じるか？
• RQ2 $k \to \infty$ の下で、$\mathcal{H}$ 内の測地線距離は、スケーリングされた $\mathcal{B}_k$ 内の測地線距離によって近似可能か？
• RQ3 $\mathcal{H}$ と $\mathcal{B}_k$ 間の距離および角度の収束は、$\mathcal{H}$ が $\mathcal{B}_k$ の非正曲率を引き継ぐことを示唆するか？
• RQ4 $\mathcal{H}$ 上のカルビ・フローは、$\mathcal{B}_k$ 上のバランスング・フローによって近似可能であり、これは長時間存在と収束を示唆するか？
• RQ5 $\partial\mathcal{H}$ の構造は何か？ また、これは $\mathcal{B}_k$ の無限遠における漸近幾何とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathcal{B}_k$ 内の測地線距離は $k^{-(n+2)/2}$ でスケーリングされた下で $\mathcal{H}$ の距離に収束し、$\lim_{k\to\infty} k^{-(n+2)/2} d_{\mathcal{B}_k}(\text{Hilb}_k(\phi_0),\text{Hilb}_k(\phi_1)) = d_{\mathcal{H}}(\phi_0,\phi_1)$ が成り立つ。
• 距離の収束は、3点間の角度の収束を意味する：$\lim_{k\to\infty} \angle H_{k,1}H_{k,2}H_{k,3} = \angle \phi_1\phi_2\phi_3$。
• アレクサンドロフの意味での $\mathcal{H}$ の非正曲率は、収束の結果として回復され、解析的手法によって既に示された結果の幾何的証明を提供する。
• 測地線距離の収束および非正曲率空間上での勾配フローの距離減少性の帰結として、$\mathcal{H}$ 上のカルビ・フローが距離減少であることが示される。
• $\mathcal{H}$ 上の $L^2$ 距離は、指定されたスケーリングの下で $\mathcal{B}_k$ 上のリーマン計量の極限として生じるため、自然な計量である。
• 十分に大きな $l$ に対して、$C^l$-コンパクト近傍内でポテンシャルが変動する場合、収束は一様であり、近似による幾何的構造の安定性を保証する。