[論文レビュー] Space-Valued Diagrams, Type-Theoretically (Extended Abstract)

Nicolai Kraus, Christian Sattler|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、単体圏を含むさまざまなインデックス圏上で、空間値の図式（特にホモトピー整合的図式およびリーディー固有図式）を型理論的枠組みで定義するためのものである。高次整合性則を用いて、これらの構成が適用可能な場合には、既知のリーディー固有図式と同等であることを確立し、半単体的型に退化写像を追加することで、任意の有限レベルまでの単体的型を構成する応用を行う。

ABSTRACT

Topologists are sometimes interested in space-valued diagrams over a given index category, but it is tricky to say what such a diagram even is if we look for a notion that is stable under equivalence. The same happens in (homotopy) type theory, where it is known only for special cases how one can define a type of type-valued diagrams over a given index category. We offer several constructions. We first show how to define homotopy coherent diagrams which come with all higher coherence laws explicitly, with two variants that come with assumption on the index category or on the type theory. Further, we present a construction of diagrams over certain Reedy categories. As an application, we add the degeneracies to the well-known construction of semisimplicial types, yielding a construction of simplicial types up to any given finite level. The current paper is only an extended abstract, and a full version is to follow. In the full paper, we will show that the different notions of diagrams are equivalent to each other and to the known notion of Reedy fibrant diagrams whenever the statement makes sense. In the current paper, we only sketch some core ideas of the proofs.

研究の動機と目的

• 同値性に関して安定で、高次整合性則を明示的に扱える、ホモトピー型理論における型値の図式の堅牢な定義を提供すること。
• 等価型が構造を導入するのではなく法則を導入するという型理論における基礎的問題を解決し、必要なすべての高次ホモトピーを符号化する整合的図式を構成すること。
• 適切な条件下で、異なる図式の構成法（ホモトピー整合的、リーディー固有、およびナーヴ構成）が同等であることを示すこと。
• 半単体的型に退化写像を追加することで、任意の有限レベルまでの単体的型を構成するため、この枠組みを応用すること。
• 整合性の複雑さのため、通常の方法では表現できない図式構造を形式化することで、型理論における内部圏論の基盤を提供すること。

提案手法

• インデックス圏のナーヴを用いてホモトピー整合的図式を構成し、射の有限鎖によって添字づけられた成分を用い、すべての整合性則を明示的に符号化する。
• 2つの変種を導入：1つはインデックス圏が逆であると仮定するもの、もう1つは型理論が特定の構造的公理（例えば、ユニバーシリティ、関数拡張性）を満たすと仮定するもの。
• 単体圏の反対圏のナーヴにグロテンドィックの構成を適用し、Δ^op 上の図式とマーク付きリーディー圏上の図式を関係づける。
• ハープァプのテクニックを用いて、ナーヴ構成における冗長な成分（例えば、恒等射の列）が可縮対を形成することを示し、余分な整合性データを排除する。
• 次数 ≤ n の部分圏上の極限が同値の塔を形成することを証明し、無限大極限（H∞）が基本型 H0 と同値であることを示す。
• リーディー圏構成における非最小の列が、ホモトピー整合的図式設定において互いにキャンセルされることを示し、リーディー固有図式と同等になることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー型理論において、同値性に関して不変で、すべての高次整合性則を明示的に扱える空間値の図式の型をどのように定義できるか？
• RQ2 逆圏またはリーディー圏上で、ホモトピー整合的図式、リーディー固有図式、およびナーヴに基づく構成との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 型理論的手法を用いて、半単体的型に退化写像を追加することで単体的型を構成することは可能か？
• RQ4 圏のナーヴにおける冗長な成分（例えば、恒等射の列）は、図式型において非自明な構造をもたらすか？
• RQ5 全ホモトピー整合的図式型から最小図式型への標準的射影が同値であるかどうか、そしてどのような条件下でそうなるか？

主な発見

• インデックス圏 I が逆圏であるとき、ホモトピー整合的図式は、リーディー圏または逆圏である場合にはより構造的なリーディー固有図式と同等である。
• 終端圏 1 上のホモトピー整合的図式の構成は、無限大の成分の塔を生じるが、基本型への標準的射影は同値である。
• 恒等射の奇数長および偶数長の鎖に対応する成分は、トポロジー的ダンス・ハットに類似した可縮対を形成し、UIP を必要とせず整合性を保証する。
• 図式の塔 H∞ の無限大極限は、基本型 H0 と同値であり、恒等射の場合には高次整合性データが新たな情報を追加しないことを示している。
• 単体圏 Δ^op に対して、ホモトピー整合的図式型は、マークが尊重される場合にはリーディー固有図式型と同値である。このことは、構成法の正当性を裏付けている。
• この方法により、リーディー圏フレームワークを用いて、半単体的型に退化写像を追加することで、任意の有限レベルまでの単体的型を成功裏に拡張できた。