[論文レビュー] Sparse exchangeable graphs and their limits via graphon processes

Christian Borgs, Jennifer Chayes+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 31被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、σ-有限測度空間上のポアソン点過程を用いて構築される、スパースで交換可能なグラフの確率的族であるグラフオン過程を導入する。エッジの確率は可積分なグラフオン関数 W によって支配される。主な結果は、このような過程が部分グラフ頻度の収束を示し、生成グラフオンに対して一般化されたカット距離において収束することであり、グラフオンはカット距離の同値関係までしか特定できないことである。

ABSTRACT

In a recent paper, Caron and Fox suggest a probabilistic model for sparse graphs which are exchangeable when associating each vertex with a time parameter in R+. Here we show that by generalizing the classical definition of graphons as functions over probability spaces to functions over σ-finite measure spaces, we can model a large family of exchangeable graphs, including the Caron-Fox graphs and the traditional exchangeable dense graphs as special cases. Explicitly, modelling the underlying space of features by a σ-finite measure space (S, S, µ) and the connection probabilities by an integrable function W : S × S → [0, 1], we construct a random family (Gt)t≥0 of growing graphs such that the vertices of Gt are given by a Poisson point process on S with intensity tµ, with two points x, y of the point process connected with probability W(x, y). We call such a random family a graphon process. We prove that a graphon process has convergent subgraph frequencies (with possibly infinite limits) and that, in the natural extension of the cut metric to our setting, the sequence converges to the generating graphon. We also show that the underlying graphon is identifiable only as an equivalence class over graphons with cut distance zero. More generally, we study metric convergence for arbitrary (not necessarily random) sequences of graphs, and show that a sequence of graphs has a convergent subsequence if and only if it has a subsequence satisfying a property we call uniform regularity of tails. Finally, we prove that every graphon is equivalent to a graphon on R+ equipped with Lebesgue measure.

研究の動機と目的

• 測度空間を確率空間からσ-有限測度空間へ一般化することで、古典的グラフオン理論をスパースグラフへ拡張すること。
• σ-有限測度空間上のポアソン点過程を用いて、交換可能なスパースグラフ（例えばCaron-Foxモデルを含む）をモデル化すること。
• この一般化された設定において、グラフ列の部分グラフ頻度の収束および距離収束を確立すること。
• テールの均等正則性という概念を用いて、グラフ列が収束部分列をもつための必要十分条件を同定すること。
• すべてのグラフオンが、Lebesgue測度を備えたR+上に定義されたグラフオンとカット距離で同値であることを示し、標準的表現を可能にすること。

提案手法

• グラフオン過程を、σ-有限測度空間 (S, S, µ) 上のポアソン点過程で生成される頂点をもつ確率的族 (Gt)t≥0 として定義する。強度は tµ である。
• 頂点 x と y 間のエッジ形成確率を W(x, y) とし、W: S × S → [0, 1] を可積分関数とする。
• グラフ列の収束を定義するために、σ-有限測度空間へのカット距離の一般化を行う。
• この一般化された距離において、グラフオン過程における部分グラフ頻度が収束すること（極限が無限大になる場合を含む）を証明する。
• 任意のグラフ列において、部分列収束の必要十分条件として、テールの均等正則性という概念を導入する。
• すべてのグラフオンが、Lebesgue測度を備えたR+上に定義されたグラフオンとカット距離で同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率空間を超えた一般化により、交換可能なスパースグラフをグラフオンの一般化でモデル化できるか？
• RQ2 スパースで交換可能なグラフモデルにおいて、部分グラフ頻度の収束をどのように確立できるか？
• RQ3 一般化された設定において、任意のグラフ列が距離収束するための条件は何か？
• RQ4 グラフオン過程の生成グラフオンは同定可能か？ もしそうなら、どの同値関係までか？
• RQ5 すべてのグラフオンは、カット距離の下でR+にLebesgue測度を備えたグラフオンと同値に表現可能か？

主な発見

• σ-有限測度空間上に可積分なグラフオン W をもつグラフオン過程は、極限が無限大になる場合を含めて、部分グラフ頻度が収束する。
• グラフオン過程によって生成されるグラフ列は、一般化されたカット距離において生成グラフオン W に収束する。
• グラフオン W はカット距離が0の同値関係までしか特定できない。これは、カット距離が0のグラフは極限において区別できないことを意味する。
• グラフ列が収束部分列をもつための必要十分条件は、テールの均等正則性を満たす部分列が存在することである。
• すべてのグラフオンは、Lebesgue測度を備えたR+上に定義されたグラフオンとカット距離で同値であり、これにより標準的表現が可能になる。