[論文レビュー] Sparse graphs: metrics and random models

Béla Bollobás, Oliver Riordan|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Θ(n)本の辺を持つスパースグラフに対して、メトリクスとランダムグラフモデルを調査する。特に、正規化 p=1/n の下でカットメトリクス、部分グラフメトリクス、および分割メトリクスに注目する。標準的なスパースグラフの収束結果がスパースグラフに拡張されないことが示され、局所的およびグローバル構造を捉えるために、T(n,d) という三角形ベースの構成モデルのような新しいモデルが提案される。これらのメトリクスの下でコーシー列における構造を捉える。

ABSTRACT

Recently, Bollobás, Janson and Riordan introduced a family of random graph models producing inhomogeneous graphs with $n$ vertices and $Θ(n)$ edges whose distribution is characterized by a kernel, i.e., a symmetric measurable function $\ka:[0,1]^2 o [0,\infty)$. To understand these models, we should like to know when different kernels $\ka$ give rise to `similar' graphs, and, given a real-world network, how `similar' is it to a typical graph $G(n,\ka)$ derived from a given kernel $\ka$. The analogous questions for dense graphs, with $Θ(n^2)$ edges, are answered by recent results of Borgs, Chayes, Lovász, Sós, Szegedy and Vesztergombi, who showed that several natural metrics on graphs are equivalent, and moreover that any sequence of graphs converges in each metric to a graphon, i.e., a kernel taking values in $[0,1]$. Possible generalizations of these results to graphs with $o(n^2)$ but $ω(n)$ edges are discussed in a companion paper [arXiv:0708.1919]; here we focus only on graphs with $Θ(n)$ edges, which turn out to be much harder to handle. Many new phenomena occur, and there are a host of plausible metrics to consider; many of these metrics suggest new random graph models, and vice versa.

研究の動機と目的

• Θ(n)本の辺を持つスパースグラフが、異なるカーネルによって『類似』する条件を理解すること。
• 現実世界のネットワークが、与えられたカーネル κ に対してランダムモデル G(n,κ) によって生成されたグラフとどれほど類似しているかを評価すること。
• スパースな状態（Θ(n)本の辺）において、標準的な道具が機能しない中で、密度の高いグラフ（Θ(n²)本の辺）におけるグラフメトリクスの同等性をスパースな状態へと拡張すること。
• 任意の次数分布と局所的構造を備えたグラフを生成できる新しいランダムグラフモデルを開発すること、特に極めてスパースな状態において。
• d_loc や d_cn などのメトリクスにおけるコーシー列が、明示的なランダムグラフモデルによって実現可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 正規化 p(n) = 1/n を用いて、カットメトリクス d_cut、部分グラフ（カウント）メトリクス d_sub、および分割メトリクス d_part の3つの主要なグラフメトリクスをスパースグラフに適応する。
• グラフ G_n に対して、[0,1] を n 個の長さ 1/n の区間に分割し、辺を示すブロックに対して値 1/p = n を割り当てる有限型カーネル κ_Gn を定義する。
• 各連結グラフ F が [0,1]^{|F|} 上にカーネル κ_F を持ち、F のコピーが確率 κ_F(x_v1,…,x_vk)/n^{k-1} で追加されるランダムグラフモデル G(n, (κ_F)) を導入する。
• 各頂点が d 個のスタブを持ち、スタブがランダムに3つ組み合わせられて三角形を形成する、三角形ベースの構成モデル T(n,d) を提案する。
• T(n,d) の局所的極限が無限の三角形の木であることを分析し、典型的な頂点が次数 2d であり、d 個の辺を共有しない三角形に属していることを示す。
• カーネルの測度を保つ再配置を用いて同値類（κ ≈ κ'）を定義し、このような変換の下での不変性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度の高い状態（Θ(n²)本の辺）と同様に、スパースな状態（Θ(n)本の辺）において、標準的なグラフメトリクス（d_cut, d_sub, d_part）が同等であるかどうか。
• RQ2 d_loc や d_cn の下でコーシー列が、明確なカーネル族を持つランダムグラフモデルによって実現可能かどうか。
• RQ3 G(n,κ) や G(n,(κ_F)) といった既存のモデルが、極めてスパースな状態において任意の次数分布を捉える上で、どのような制限を受けるか。
• RQ4 スパースグラフメトリクスの下で、局所的およびグローバル構造が極限においてどのように相互作用するか。
• RQ5 T(n,d) のような無限の三角形の木のような特定の局所的構造を実現できる、新しいランダムグラフモデルを構築可能かどうか。

主な発見

• 密度の高いグラフ（Θ(n²)本の辺）において観察されるグラフメトリクスの同等性は、スパースな状態（Θ(n)本の辺）には拡張されず、新たな現象が現れる。
• p=1/n を用いたランダムグラフモデル G(n,κ) は、本質的にサイクルをほとんど持たないグラフを生成するため、一般のスパースネットワークのモデリングには不適切である。
• モデル G(n,(κ_F)) は Θ(n) 本の辺と、任意の固定グラフ F に対して Θ(n) 個のコピーを生成するが、その次数分布は複合ポアソン分布の混合であり、正則グラフを生成する能力に制限がある。
• 提案されたモデル T(n,d) は、各頂点が次数 2d であり、d 個の辺を共有しない三角形に属する多重グラフを生成する。また、正の確率で単純グラフとなる。
• T(n,d) の局所的極限は無限の三角形の木であり、このようなモデルが極めてスパースな状態における特定の局所的構造を実現可能であることを示している。
• d_loc や d_cn に関して質問8.1に答えるには、次数分布だけでなく、局所的およびグローバル構造の完全な組み合わせを理解する必要があり、これは依然として大きな未解決課題である。