[論文レビュー] Special Lagrangians and Lagrangian self-similar solutions in cones over toric Sasaki manifolds

Hikaru Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トーリックSasaki多様体上のCalabi–Yau錐体における特別ラグランジュ部分多様体およびラグランジュ自己相似解の明示的例を構成する。トーリック幾何学的枠組みと8つの同一多面体領域の貼り合わせを用い、任意の genus $ g \geq 1 $ に対して、3次元特別ラグランジュ部分多様体を $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ に微分同相である6次元Calabi–Yau錐体 $ M_g $ に、またコンパクトなラグランジュ自己収縮子を $ \Sigma_g \times S^1 $ に微分同相であるものとして構成する。

ABSTRACT

We construct some examples of special Lagrangian submanifolds and Lagrangian self-similar solutions in almost Calabi-Yau cones over toric Sasaki manifolds. For example, for any integer g>0, we can construct a real 6 dimensional Calabi-Yau cone M_g and a 3 dimensional special Lagrangian submanifold L^1_g in M_g which is diffeomorphic to the product of a closed surface of genus g and the real line R, and a 3 dimensional compact Lagrangian self-shrinker L^2_g in M_g which is diffeomorphic to the product of the closed surface of genus g and a circle S^1.

研究の動機と目的

• トーリックSasaki多様体上のほぼCalabi–Yau錐体における特別ラグランジュ部分多様体およびラグランジュ自己相似解の構成を扱う。
• $ \mathbb{C}^m $ における特別ラグランジュの既知の結果および $ \mathbb{R}^m $ における自己相似解の結果を、トーリックCalabi–Yau錐体の設定に拡張する。
• 非コンパクトな特別ラグランジュ部分多様体とコンパクトな自己収縮子を含む、トポロジーが制御された明示的幾何的例を提供する。
• トーリックデータに関連する多面体領域の貼り合わせを通じて、このような解を構成する手法を確立する。
• 平均曲率フローおよび自己相似解がラグランジュ幾何における特異点の漸近的モデルとして果たす役割を調査する。

提案手法

• トーリックSasaki多様体 $ S $ 上の錐構成 $ C(S) = S \times \mathbb{R}^+ $ を用い、計量 $ \overline{g} = r^2 g + dr^2 $ を定義し、自然な $ \mathbb{R}^+ $-作用と位置ベクトル場 $ \overrightarrow{p} = r \frac{\partial}{\partial r} $ を導入する。
• 自己相似解を、平均曲率ベクトル $ H $ と定数 $ \lambda \in \mathbb{R} $ を用いて $ H = \lambda \overrightarrow{F}^\perp $ という条件により定義する。
• moment写像とトーリックデータを用いて、トーリックケーラー錐体内のラグランジュ部分多様体を構成し、正則バンドルが自明である場合に特別ラグランジュ条件を課す。
• 符号三重組 $ (\kappa_1, \kappa_2, \kappa_3) \in \{ \pm 1 \}^3 $ でラベル付けされた8つの同一多面体領域 $ \Delta_{\zeta,c} $ を、トーリック多面体の内向き法線に沿って貼り合わせることで、$ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ および $ \Sigma_g \times S^1 $ のトポロジーをモデル化する。
• 代数的トーリック構造と多面体領域を結ぶ対数変換 $ x_i \mapsto -\log|x_i| $ を用い、多面体の面に対応するトーリック除法子に近づく曲線の構成を可能にする。
• 貼り合わせられた部分多様体がラグランジュ的であり、かつラグランジュ位相の消失および平均曲率条件を満たすことを確認することで、特別ラグランジュまたは自己相似条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、トーリックSasaki多様体上のCalabi–Yau錐体における特別ラグランジュ部分多様体を体系的に構成できるか？
• RQ2 このような錐体における特別ラグランジュまたは自己相似解として、どのようなトポロジー型のラグランジュ部分多様体が生じるか？
• RQ3 トーリック幾何を用いて、高次元Calabi–Yau錐体にコンパクトなラグランジュ自己収縮子を構成できるか？
• RQ4 複数の多面体領域の貼り合わせが、錐体における $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ および $ \Sigma_g \times S^1 $ のトポロジーをどのようにモデル化するか？
• RQ5 位置ベクトルおよび $ \mathbb{R}^+ $-作用は、$ \mathbb{R}^m $ を超えて自己相似解を一般化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の整数 $ g \geq 1 $ に対して、トーリックSasaki多様体上の6次元Calabi–Yau錐体 $ M_g $ が構成される。
• 3次元特別ラグランジュ部分多様体 $ F^1_g: L^1_g \to M_g $ が構成され、これは $ \Sigma_g \times \mathbb{R} $ に微分同相である。ここで $ \Sigma_g $ は genus $ g $ の閉じた曲面である。
• コンパクトなラグランジュ自己収縮子 $ F^2_g: L^2_g \to M_g $ が構成され、これは $ \Sigma_g \times S^1 $ に微分同相である。自己相似条件 $ H = \lambda \overrightarrow{F}^\perp $ において $ \lambda < 0 $ である。
• この構成は、符号三重組 $ (\kappa_1, \kappa_2, \kappa_3) $ でラベル付けされた8つの同一多面体領域 $ \Delta_{\zeta,c} $ を、トーリック多面体の内向き法線に沿って貼り合わせることに依存する。
• 部分多様体のトポロジーは、$ \Delta_{\zeta,c} $-コピーの貼り合わせにより確認され、$ C(S)^\sigma_{\zeta,c} \cong \Sigma_g $ が成り立つ。これは $ g = 1 $ および $ g = 2 $ に対して明示的な図を用いて確認されている。
• 対数変換 $ x_i \mapsto -\log|x_i| $ を用いて、$ \mathbb{R}^3 $ 内の曲線を代数的トーラス内の線に写像し、多面体の面に近づくようにすることで、解の漸近的挙動をモデル化する具体的な例が得られる。