[論文レビュー] Special Relativity in Reduced Power Algebras

Elemér E Rosinger|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、実数の代わりに縮小冪代数からのスカラーを用いてローレンツ座標変換を再形式化することにより、特殊相対性理論を拡張する。ℝ を無限小量と無限大の数を含む非アルキメデス的代数に置き換えることで、物理における無限大の問題が自然に解決され、多次元時空が可能になる。これは相対論的物理学に新たな代数的基盤を提供し、量子重力や並行宇宙への潜在的影響を有する。

ABSTRACT

Recently, [10,11], the Heisenberg Uncertainty relation and the No-Cloning property in Quantum Mechanics and Quantum Computation, respectively, have been extended to versions of Quantum Mechanics and Quantum Computation which are re-formulated using scalars in {\it reduced power algebras}, [2-9], instead of the usual real or complex scalars. Here, the Lorentz coordinate transformations, fundamental in Special Relativity, are extended to versions of Special Relativity that are similarly re-formulated in terms of scalars in reduced power algebras, instead of the usual real or complex scalars. The interest in such re-formulations of basic theories of Physics are due to a number of important reasons, [2-11]. Suffice to mention two of them : the difficult problem of so called "infinities in Physics" falls easily aside due to the presence of infinitesimal and infinitely large scalars in such reduced power algebras, and the issue of fundamental constants in physics, like Planck's $h$, or the velocity of light $c$, comes under a new focus which offers rather surprising alternatives.

研究の動機と目的

• 実数の代わりに縮小冪代数を用いて特殊相対性理論を再形式化し、物理学における新たな数学的構造を可能にする。
• 縮小冪代数に内在する無限小量と無限大のスカラーを活用することで、物理学における「無限大の問題」を解決する。
• 物理理論においてアルキメデスの公理を緩和した結果を検討し、特にローレンツ変換の文脈でその影響を明らかにする。
• 座標とスカラーが非アルキメデス的代数上で定義される場合に、相対性の原理と光速の不変性がどのように保たれるかを検討する。
• 特にゼロ因子と逆元のない元の存在を含む、縮小冪代数の代数的構造を相対論的変換の文脈で検討する。

提案手法

• 集合 Λ から ℝ への関数の同値類として構成される縮小冪代数 𝔸_F を、フィルター 𝔽 による同値関係で定義し、実数体 ℝ を置き換える。
• 代数的演算（加法、乗法、平方）を保存する形で、標準的なローレンツ変換の導出を代数 𝔸_F に適応する。
• 除法と平方根を、可逆元（ユニット）とゼロ因子の分析を通じて扱い、フィルターの性質を用いて元が非ゼロかつ可逆である条件を特定する。
• 元 (x)_F がゼロでない条件は、Z(x) ∉ 𝔽 かつ ΛackslashZ(x) ∈ 𝔽 であることと定義し、ゼロ因子は (x)_F ≠ 0, (y)_F ≠ 0, (x)_F(y)_F = 0 を満たす場合に定義する。
• 標準的な相対論的ローレンツ変換の導出（1.13）および（1.19）を、新しい代数において適用し、演算が適切に定義される限り、同じ代数的形が成立することを示す。
• 𝔸_F が一般に一様次元的または全順序でない（特に 𝔽 が超フィルターでない場合）ため、多次元時空の概念を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ座標変換は、縮小冪代数へ一貫的に拡張可能であり、物理的意味を保つのか？
• RQ2 縮小冪代数の代数的性質（ゼロ因子、非アルキメデス的スカラーなど）は、ローレンツ変換の導出と有効性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 時空座標が非アルキメデス的代数上で定義される場合、特に時空の多次元性に関して、どのような物理的結果が生じるか？
• RQ4 ℝ を非アルキメデス的代数 𝔸_F に置き換えることで、相対論的物理学における無限大の問題はどのように解消されるか？
• RQ5 縮小冪代数に基づく枠組みにおいて、相対性の原理と光速不変の原則は、どのようにして維持されるのか？

主な発見

• 除法と平方根が定義される限り、つまり可逆元に対しては、標準的なローレンツ変換（1.13）および（1.19）を縮小冪代数 𝔸_F に拡張可能である。
• 代数的演算が適切に定義される限り、ローレンツ因子 γ = 1 / √(1 - v²/c²) の導出は 𝔸_F 上でも有効であり、相対論的構造が保たれる。
• 縮小冪代数には無限小量と無限大のスカラーが含まれており、発散する項を適切に定義された代数的対象に置き換えることで、物理学における無限大の問題が自然に解決される。
• フィルター 𝔽 が超フィルターでない場合、代数 𝔸_F はゼロ因子を含み、体ではないため、𝔸_F は線形順序でない。このため、多次元時空（特に多次元時間）の可能性が生じる。
• 𝔸_F 内の可逆元の集合は、(x)_F ∈ 𝔸_F^u であることと、Z(x) ∉ 𝔽 かつ ΛackslashZ(x) ∈ 𝔽 であることと同値であり、除法が定義されるのはこのような元に限ることを保証する。
• 非超フィルター代数における時間の多次元的性質を用いて、並行宇宙をモデル化するような推測的解釈が可能になる。