[論文レビュー] Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations with the kernel, depending on the parameter

P.O. Romeo, В. В. Власов|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パラメータに依存する核を有するGurtin-Pipkin型積分微分方程式のスペクトル漸近挙動を分析し、解の減衰率が核の滑らかさおよびパラメータ $\xi$ にどのように依存するかに注目する。固有値の漸近公式を導出し、指数的安定性が $\xi > \frac{r+1}{2}$ のときにのみ成立することを示す。それ以外の場合は、核のフーリエ係数の減衰率に応じて多項式的減衰が生じる。

ABSTRACT

In this paper, we study asymptotic behavior of the spectrum of the abstract Gurtin-Pipkin integro-differential equation with the kernel, depending on the parameter. The coefficients of this equation are unbounded and the main part is an abstract hyperbolic equation perturbed by terms that include Volterra integral operators.

研究の動機と目的

• 抽象的Gurtin-Pipkin積分微分方程式のスペクトルの漸近的挙動を調査すること。
• 方程式の解が $t \to \infty$ の際に指数的または多項式的に減衰する条件を特定すること。
• 核 $K(t)$ の滑らかさ、特にそのフーリエ係数 $c_k$ および減衰率 $\gamma_k$ にどのようにスペクトル特性が依存するかを分析すること。
• パラメータ $\xi$ および核の減衰行動を用いて、複素固有値の実部 $\operatorname{Re}\lambda^{\pm}_n(\xi)$ の明確な漸近公式を確立すること。

提案手法

• 方程式を、核 $K(t)$ を持つボルテラ積分作用素による摂動を受ける2階抽象微分方程式としてモデル化する。$K(t)$ は指数関数の和として表現される。
• 作用素値関数 $L(\zeta)$ のスペクトル解析を適用し、複素解析および留数法を用いて固有値の漸近展開を導出する。
• 核は $K(t) \approx \sum_{k=1}^N c_k e^{-\gamma_k t}$ の級数表現を持つものと仮定し、$c_k$ および $\gamma_k$ が特定の減衰条件を満たすものとする。
• $c_k \sim A/k^\alpha$, $\gamma_k \sim Bk^\beta$, およびパラメータ $r = \alpha/\beta$ を用いて、固有値 $\operatorname{Re}\lambda^{\pm}_n(\xi)$ の実部の漸近公式を導出する。
• ${c_k}$ が可summable である場合と非可summable である場合に分けて、異なる漸近的領域を区別する。
• 主な技術的アプローチは、スペクトル級数の収束性の分析および虚軸からの固有値の位置の推定である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核 $K(t)$ およびパラメータ $\xi$ がどのような条件下でGurtin-Pipkin方程式の解が指数的に減衰するか。
• RQ2 核のフーリエ係数 $c_k$ の減衰率に応じて、作用素 $L(\zeta)$ のスペクトル分布はどのように変化するか。
• RQ3 $a_n \to \infty$ の際に、固有値 $\operatorname{Re}\lambda^{\pm}_n(\xi)$ の実部の正確な漸近的挙動は何か。
• RQ4 $\xi$ がどのような値をとるときにスペクトルが虚軸に近づき、指数的減衰が成立しないことを示唆するか。
• RQ5 パラメータ $\xi$ および指数 $r = \alpha/\beta$ を用いて、多項式的減衰から指数的減衰への遷移を特徴づけられるか。

主な発見

• 解の指数的減衰は、$\xi > \frac{r+1}{2}$ のときにかつそのときにのみ成立する。ここで $r = \alpha/\beta$ は $c_k$ と $\gamma_k$ の減衰指数の比である。
• $\xi \in (0, \frac{r+1}{2})$ のとき、固有値 $\operatorname{Re}\lambda^{\pm}_n(\xi)$ の実部は $a_n \to \infty$ の際にゼロに減衰するため、多項式的減衰しか成立しない。
• $r = 1$ のとき、すべての $\xi \in (0,1)$ に対して $\operatorname{Re}\lambda^{\pm}_n(\xi) \to 0$ となるため、指数的減衰は成立しない。
• $\xi = \frac{r+1}{2}$ のとき、実部は負の定数 $-\frac{AD}{\beta B^{1-r}}$ に近づき、スペクトル的安定性の閾値を示す。
• $\xi \in (\frac{r+1}{2}, 1)$ のとき、$a_n \to \infty$ の際に $\operatorname{Re}\lambda^{\pm}_n(\xi) \to -\infty$ となるため、指数的減衰が確認される。
• $r = 1$ のとき、$\operatorname{Re}\lambda^{\pm}_n(\xi)$ の漸近公式は $-\frac{1}{2}\frac{A}{\beta}\frac{ln a_n}{a_n^{2(1-\xi)}} + O\left(\frac{1}{a_n^{2(1-\xi)}}\right)$ となり、減衰率に対数補正が生じることを示す。