[論文レビュー] Spectral radius and Hamiltonicity of graphs with large minimum degree: revisited

Jun Ge, Bo Ning|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Graph theory and applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最小次数が大きいグラフおよびバランスドな二部グラフにおけるハミルトニアン性のスペクトル半径条件を確立する。十分に大きな $ n $ に対して、$ n $ 階のグラフ $ G $ が $ \delta(G) \geq k $ かつスペクトル半径 $ \lambda(G) \geq n-k-1 $ を満たすとき、ハミルトニアンであるか、あるいは二つの特定の例外的グラフのいずれかと同型でない限り、ハミルトニアンである。これはニキフォロフの結果を拡張し、ムーン＝モーザーの定理のスペクトル的類似を与える。

ABSTRACT

Investigating the relationship between eigenvalues of a graph and its cycle structure is a standard topic in spectral graph theory. This paper mainly concerns spectral conditions for Hamilton cycles in graphs and in balanced bipartite graphs, respectively. Our main results are written as: (1) Let $k\geq 1$, $n\geq \max\{\frac{1}{2}k^3+k+4,6k+5\}$, and let $G$ be a graph of order $n$, with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If its spectral radius $\lambda(G)\geq n-k-1$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=K_1\vee (K_k+K_{n-k-1})$, or $G=K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1})$. (2) Let $k\geq 1$, $n\geq k^3+2k+4$, and let $G$ be a balanced bipartite graph of order $2n$, with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If its spectral radius $\lambda(G)\geq \sqrt{n(n-k)}$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=B^k_n$, where $B^k_n$ is the graph obtained from $K_{n,n}$ by deleting a $K_{k,n-k}$. Our first theorem shows that a very recent theorem of Nikiforov still holds when $n<k^3$ (if $k$ is sufficiently large). Our second result further gives a spectral analogue of Moon-Moser's theorem on Hamilton cycles in balanced bipartite graphs, and extends a previous result due to Li and one of the authors here for $n$ sufficiently large.

研究の動機と目的

• $ k $ が大きい場合に、$ n $ が小さい値に対してもニキフォロフの最近のハミルトニアン性のスペクトル的条件を拡張すること。
• バランスドな二部グラフにおけるハミルトニアンサイクルに関するムーン＝モーザーの定理のスペクトル的類似を提供すること。
• スペクトル半径条件を満たすがハミルトニアンでない例外的グラフを同定すること。
• $ n $ が大きい場合に、リーおよび著者の1人が得た先行結果を一般化すること。

提案手法

• 最大固有値（スペクトル半径）とハミルトニアンサイクルの存在との関係を、スペクトルグラフ理論を用いて分析する。
• 特に完全グラフの結合を用いた極値グラフ構成を適用し、反例の可能性を同定する。
• スペクトル半径条件がハミルトニアン性を保証するための $ n $ のタイトな境界を確立する。
• 例外的グラフ $ K_1\vee (K_k+K_{n-k-1}) $ および $ K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1}) $ 及びその二部グラフ版の構造を分析する。
• バランスドな二部グラフの場合に、スペクトル半径条件 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ を用いてハミルトニアン性を導出する。
• ニキフォロフの定理やムーン＝モーザーの定理といった既知の定理と比較し、スペクトル条件の新規性と強さを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数 $ \delta(G) \geq k $ を満たすグラフが、$ n < k^3 $ の場合でも、どのようなスペクトル半径条件下でハミルトニアンサイクルを保証するか？
• RQ2 スペクトル半径条件を満たすがハミルトニアンでない正確な例外的グラフは何か？
• RQ3 バランスドな二部グラフにおけるハミルトニアン性のためのスペクトル的条件を、ムーン＝モーザーの定理に類似させることが可能か？
• RQ4 スペクトル半径の閾値 $ \lambda(G) \geq n-k-1 $ は、高さの最小次数を持つ密度の高いグラフにおけるハミルトニアンサイクルの存在とどのように関係するか？
• RQ5 本稿の結果は、$ n $ が大きい場合にリーおよび著者が得た先行研究をどの程度まで拡張するか？

主な発見

• すべての $ n \geq \max\{\frac{1}{2}k^3+k+4, 6k+5\} $ に対して、$ n $ 階のグラフ $ G $ が $ \delta(G) \geq k $ かつ $ \lambda(G) \geq n-k-1 $ を満たすとき、$ G $ が $ K_1\vee (K_k+K_{n-k-1}) $ または $ K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1}) $ と同型でない限り、ハミルトニアンである。
• スペクトル半径条件 $ \lambda(G) \geq n-k-1 $ は、$ n < k^3 $ の場合でもハミルトニアン性を保証する。これはニキフォロフの結果を $ n $ の範囲を広げて拡張する。
• $ 2n $ 階のバランスドな二部グラフ $ G $ が $ \delta(G) \geq k $ を満たすとき、条件 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ が成り立つ限り、$ G = B^k_n $（$ K_{n,n} $ から $ K_{k,n-k} $ を削除したグラフ）を除き、ハミルトニアンサイクルが存在する。
• バランスドな二部グラフの設定において、スペクトル半径条件を満たすがハミルトニアンでない唯一のグラフは $ B^k_n $ である。
• 本稿の結果は、バランスドな二部グラフにおけるハミルトニアンサイクルに関するムーン＝モーザーの定理のスペクトル的類似を与える。
• 本稿は、最小次数 $ k $ を持つバランスドな二部グラフにおけるハミルトニアン性のためのスペクトル半径閾値 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ が鋭いことを確認している。