[論文レビュー] Spectral rigidity of group actions on homogeneous spaces

Bachir Bekka|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 78被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、マコフ作用素とチーリング型不等式を用いて、同次空間上の群作用のスペクトルギャップ性質を確立し、確率的行列積の指数的混合と成長率を証明する。主な結果として、$ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ が $ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) / PGL_2(\text{F}_q[t]) $ に作用する場合の、スペクトルギャップの初等的証明が得られ、スペクトル半径解析と $ L^p $-弱包含を用いる。

ABSTRACT

Actions of a locally compact group G on a measure space X give rise to unitary representations of G on Hilbert spaces. We review results on the rigidity of these actions from the spectral point of view, that is, results about the existence of a spectral gap for associated averaging operators and their consequences. We will deal both with spaces X with an infinite measure as well as with spaces with an invariant probability measure. The spectral gap property has several striking applications to group theory, geometry, ergodic theory, operator algebras, graph theory, theoretical computer science, etc.

研究の動機と目的

• 同次空間上の群作用のスペクトルギャップ性質を確立すること、特に無限または有限不変測度を伴う場合を含む。
• スペクトルギャップの不在を用いて共アーメン作用を特徴づけ、不変平均および臨界指数と関連付ける。
• マコフ作用素と幾何的推定を用いて、$ G = PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ が $ G / PGL_2(\text{F}_q[t]) $ に作用する場合の、スペクトルギャップの新しい初等的証明を提供すること。
• スペクトル半径および $ L^p $-弱包含を介して、スペクトルギャップを $ SL_d(\text{R}) $ における確率的行列積のリャプノフ指数および指数的成長と関連付けること。

提案手法

• 測度 $ m $ に関する $ L^2_0(X,m) $ 上の平均化作用素（マコフ作用素）$ \tilde{\rho}_X(\nu) $ の使用、スペクトル半径 $ r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_X(\nu)) < 1 $ がスペクトルギャップの基準となる。
• LaSo88 および SiJe89 に由来するマコフ連鎖のチーリング型不等式の適用により、空間内の幾何的拡張性とスペクトルギャップを関連付ける。
• $ L^p $-弱包含技術の採用：$ \rho_V $ が $ \rho_G $ に弱く含まれることを示し、$ \rho_V \boxtimes \bar{\rho}_V \trianglelefteq \rho_G $ を用いて $ \tilde{\rho}_V(\nu) $ を $ \tilde{\rho}_G(\nu)^{1/2} $ で上から抑える。
• 不等式 $ \frac{1}{\tilde{\rho}_V(\nu)^n(1_A, f_\nu)} \to \text{exp}(-n \frac{\text{log} r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu))}{d+\nu}) $ を用いてリャプノフ指数の上限を導出する。
• $ \tilde{\rho}_V(\nu^n)(1_A, f_\nu) \to \text{exp}(-n \frac{\text{log} r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu))}{d+\nu}) $ の推定は、対数的コンカベイティおよびノルムの減衰を用いて行う。
• スペクトルギャップ問題を、特に自由群を含む離散部分群上の正則表現のノルムに還元する。自由群の2生成元について $ \tilde{\rho}_\nu(\nu) = \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群 $ G $ が同次空間 $ X $ に作用する場合、どのような条件下でスペクトルギャップ性質が成立するか。
• RQ2 群 $ G $ 上の確率測度 $ \nu $ に関連するマコフ作用素のスペクトル半径を用いて、スペクトルギャップをどのように特徴づけられるか。
• RQ3 $ L^p $-弱包含および $ L^2_0(X,m) $ 上のユニタリ表現のスペクトル半径を抑えるために、正則表現のノルムが果たす役割は何か。
• RQ4 マコフ作用素と幾何的推定を用いて、$ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ が $ PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) / PGL_2(\text{F}_q[t]) $ に作用する場合のスペクトルギャップ性質を初等的手段で確立できるか。
• RQ5 $ SL_2(\text{R}) $ において、2つの放物型行列に台を持つ対称測度の下で、トップリャプノフ指数 $ \tilde{\rho}_1(\nu) $ の正確な下界は何か。

主な発見

• 群 $ G = PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) $ が空間 $ X = PGL_2(\text{F}_q((t^{-1}))) / PGL_2(\text{F}_q[t]) $ に作用する場合、チーリング型不等式およびマコフ作用素解析を用いた初等的証明により、スペクトルギャップ性質が成立する。
• $ \nu = \frac{1}{4}(\nu_a + \nu_b + \nu_{a^{-1}} + \nu_{b^{-1}}) $ で、$ a = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} $ のとき、トップリャプノフ指数は $ \tilde{\rho}_1(\nu) \neq \frac{1}{2} \text{log}(\frac{2}{\text{sqrt}(3)}) \neq 0.015617 $ を満たし、確率的行列積の指数的成長を示す。
• スペクトル半径 $ r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu)) $ は、$ \tilde{\rho}_V(\nu^n)(1_A, f_\nu) $ の指数的減衰率を制御し、$ \text{limsup}_n |\tilde{\rho}_V(\nu^n)(1_A, f_\nu)|^{1/n} \to r_{\text{spec}}(\tilde{\rho}_V(\nu)) $ を満たす。これにより、スペクトルギャップと混合速度が関連づけられる。
• $ L^2(\text{R}^2) $ 上の表現 $ \rho_V $ は、$ SL_2(\text{R}) $ の正則表現 $ \rho_G $ に弱く含まれ、$ \rho_V \boxtimes \bar{\rho}_V $ は $ \rho_G $ の倍数に含まれる。これにより、$ \tilde{\rho}_G(\nu)^{1/2} $ を用いてノルムの上限が得られる。
• 自由群 $ \tilde{\rho}_\nu $（2生成元）に対して、$ \tilde{\rho}_\nu(\nu) = \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $ であり、したがって $ \tilde{\rho}_V(\nu) \neq \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} = \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $ であり、$ \tilde{\rho}_V(\nu) \neq \frac{\tilde{\rho}_\nu(\nu)}{2} $ が得られる。
• スペクトルギャップは、$ \text{E}[f(S_n(x))] $ が $ L^2 $ で $ \tilde{\rho}_X(f) $ に $ \tilde{\rho}_X(\nu)^n $ の速度で指数的に収束することを示し、エルゴディック理論における高速混合を確認する。