[論文レビュー] Spinorial Geometry and Supergravity

Joe Gillard|ArXiv.org|Aug 19, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 60被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スピン接続と時空形式の両方にα′の補正を含むD=11超重力理論におけるキリングスピンォー方程式を解くためのスピンorial幾何学的枠組みを開発する。スピンォーを外微分形式として表現し、Spin(1,10)-不変な二重線形形式を用いる。1〜4個のキリングスピンォーを保つ時空の幾何学を導出し、SU(5)およびSU(4)不変スピンォーがそれぞれヘルミート幾何学とSU(4)-構造幾何学をもたらすことを示す。α′のオーダーで明示的な制約が得られる。

ABSTRACT

In the main part of this thesis, we present the foundations and initial results of the Spinorial Geometry formalism for solving Killing spinor equations. This method can be used for any supergravity theory, although we largely focus on D=11 supergravity. The D=5 case is investigated in an appendix. The exposition provides a comprehensive introduction to the formalism, and contains background material on the complex spin representations which, it is hoped, will provide a useful bridge between the mathematical literature and our methods. Many solutions to the D=11 Killing spinor equations are presented, and the consequences for the spacetime geometry are explored in each case. Also in this thesis, we consider another class of supergravity solutions, namely heterotic string backgrounds with (2,0) world-sheet supersymmetry. We investigate the consequences of taking alpha-prime corrections into account in the field equations, in order to remain consistent with anomaly cancellation, while requiring that spacetime supersymmetry is preserved.

研究の動機と目的

• D=11超重力理論におけるキリングスピンォー方程式を解くための体系的かつ一貫した手法をスピンorial幾何学を用いて開発すること。
• スピンォー空間上のSpin(1,10)およびその部分群の軌道を分析することにより、1〜4つの超対称性を保つ時空幾何学を分類すること。
• ホモトープ的ストリング理論におけるα′補正がCalabi-Yauコンパクト化に与える影響を調査し、Calabi-Yau多様体がヘルミート幾何学に変形されることを示すこと。
• スピンォー構成と時空形式との間の関係を、Spin(1,10)-不変な二重線形形式を用いて確立する形式的枠組みを構築すること。
• 超対称性が低下した背景におけるスピン接続とゲージ場強度の幾何学的制約を導出すること。

提案手法

• 複素クラッフィー代数の形式的枠組みを用いて、Spin(1,10)のスピンォーを外微分形式として表現し、スピンォー二重線形形式の明示的計算を可能にする。
• Spin(1,10)-不変な内積を用いて、スピンォーから時空形式を構成し、スピンォー構造と微分幾何学の間の関係を確立する。
• 群論的技法を用いて、32次元スピンォー空間Δ₃₂上でのSU(5)およびSU(4)部分群の軌道を分類する。
• ゲージ固定された設定でキリングスピンォー方程式を解くことにより、スピン接続とゲージ場強度の制約を導出する。
• ホモトープ的ストリング理論におけるα′のオーダーで、場の方程式の整合性を保証するために∂∂̄-補題と適切なゲージ固定条件を用いる。
• SU(5)-およびSU(4)-不変なスピンォー構成のための標準的基底を構成し、キリングスピンォー方程式の解析を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトープ的ストリング理論の(2,0)世界面超対称性を持つ背景において、α′補正はCalabi-Yau多様体をどのように変形するか？
• RQ2 D=11超重力理論が1つ、2つ、3つ、または4つの超対称性を保つとき、時空の幾何学的構造はどのようなものか？
• RQ3 D=11超重力理論におけるスピンorial幾何学を用いて、キリングスピンォー方程式を体系的にどのように解くことができるか？
• RQ4 SU(5)-およびSU(4)-不変スピンォーに関連する不変な二重線形形式と時空形式は何か？
• RQ5 超対称性が低下した背景において、キリングスピンォー方程式から生じるスピン接続とゲージ場強度の制約は何か？

主な発見

• α′のオーダーで、(2,0)世界面超対称性と時空超対称性を有するホモトープ的ストリング背景では、内部多様体がCalabi-Yauからヘルミート幾何学に変形される。
• α′のオーダーで場の方程式の整合性は、∂∂̄-補題の成立と背景における適切なゲージ固定条件の成立に依存する。
• D=11超重力理論において、1つのSU(5)-不変キリングスピンォーを持つ背景は、(Spin(7) ⋉ ℝ⁸) × ℝ のホロノミー構造を持つ。
• 2つのSU(5)-不変スピンォーまたは2つのSU(4)-不変スピンォーを持つ時空は、空間的多様体にSU(4)-構造幾何学を必然的に持ち込む。
• スピン接続の解析により、明示的な制約が得られる：Ω₅,₅α + Ω̄₅,α₅ = 0 および Ω₅,αβ̄ = 0 であり、これらはSU(4)-構造を定義する。
• 接続成分に関する最終的な制約（式4.4.106–4.4.111に要約）は、空間的多様体BがSU(4)-構造を有することを確認する。