[論文レビュー] Stacky Hamiltonian actions and symplectic reduction

Benjamin Hoffman, Reyer Sjamaar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的なシンプレクティック幾何学の定理—キルマンの凸性定理、メイヤー＝マルスデン＝ヴァインシュタインの還元、デュイスタークマ-ヘックマンの定理—を、エタールリー群スタックがエタールシンプレクティックスタックに作用する設定へと拡張する。スタック的ミラーマップを導入し、クリーニング条件のもとで、ミラーマップの像が有理的でない正規ファンをもつ凸多面体であることを証明する。これは、非格子的コキャラクター群へのアティヤ＝ギルマン＝シュテルンバーグの定理の一般化である。シンプレクティック還元定理は、コンパクト性や正規性の仮定なしに成り立ち、デュイスタークマ-ヘックマンの定理は、還元形式の線形的変化へと拡張される。

ABSTRACT

We introduce the notion of a Hamiltonian action of an étale Lie group stack on an étale symplectic stack and establish versions of the Kirwan convexity theorem, the Meyer-Marsden-Weinstein symplectic reduction theorem, and the Duistermaat-Heckman theorem in this context.

研究の動機と目的

• エタールリー群スタックがエタールシンプレクティックスタックに作用するハミルトニアン作用へ、キルマンの凸性定理を一般化すること。
• 群スタックのコンパクト性や正規性を仮定しない、このような作用に対するシンプレクティック還元定理を確立すること。
• スタック的トーラス作用へ、デュイスタークマ-ヘックマンの定理を拡張し、還元されたシンプレクティック形式の線形的変化に焦点を当てる。
• スタックのハミルトニアン作用のための基礎的道具を構築すること。これには、スタック的リー群、ミラーマップ、基本的微分形式が含まれる。
• すべての単純スタック的ポリトープが、トーリックシンプレクティックスタックのミラーポリトープとして実現可能であることを示し、代数的トーリックスタックをC∞設定へ一般化すること。

提案手法

• 2カテゴリカルな枠組み内で、0-シンプレクティック群ガロアとミラーマップを用いて、エタールリー群スタックがエタールシンプレクティックスタックに作用するハミルトニアン作用を導入する。
• 交差モジュールとリー2群を用いて、スタック的トーラスと最大スタック的トーラスを定義し、非格子的コキャラクター群を許容する。
• ボット接続と葉層群ガロア上の基本的微分形式を用いて、横断的シンプレクティック構造を特徴付ける。
• C. Zhuの付録を用いて、リー群スタックの弱いファイバー積を用いて還元を構成・分析する。
• 厳密化定理（定理6.8.1）を適用し、一般のスタック的作用を厳密作用へ還元することで、解析を単純化する。
• 2カテゴリーや2群作用の理論を用いて、高次幾何におけるミラーマップと不変性を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コキャラクター群が格子でない場合でも、エタールリー群スタックがエタールシンプレクティックスタックに作用するハミルトニアン作用に対して、キルマンの凸性定理を一般化できるか？
• RQ2 エタールリー群スタックによるシンプレクティックスタックのシンプレクティック還元が、コンパクト性や正規性の仮定なしに再びシンプレクティックスタックとなるための条件は何か？
• RQ3 デュイスタークマ-ヘックマンの定理は、スタック的トーラス作用へどのように拡張されるのか。特に、還元されたシンプレクティック形式の変化に関しては？
• RQ4 スタック的トーラス作用の際、ミラーマップの像（スタック的ミラーボディ）の構造は何か。古典的な有理的多面体とはどのように異なるか？
• RQ5 すべての単純スタック的ポリトープが、トーリックシンプレクティックスタックのミラーポリトープとして実現可能か。この構成は、プラトーのクェーシーフォールドとどのように関係するか？

主な発見

• コキャラクター群が格子ではなく準格子であるため、ミラーマップの像は、正規ファンが有理的でない場合でも凸多面体である。
• ミラーマップに正則性仮定を課す限り、エタールリー群スタックがエタールシンプレクティックスタックに作用するハミルトニアン作用に対して、シンプレクティック還元定理が成り立つ。群や作用のコンパクト性や正規性の仮定は不要である。
• デュイスタークマ-ヘックマンの定理における還元形式の線形的変化が、スタック的トーラス作用へ一般化され、古典的定理の重要な部分がスタック的設定でも成立することが示された。
• エタールスタック上のベクトル場のリー2代数は、リー代数と同値である。これは、対称性の解析を単純化する構造的結果である。
• 厳密化定理（定理6.8.1）により、すべてのスタック的作用が厳密作用と同値であることが示され、高次カテゴリカルな文脈で古典的手法を用いることが可能になる。
• すべての単純スタック的ポリトープが、トーリックシンプレクティックスタックのミラーポリトープとして実現可能であり、プラトーのクェーシーフォールドを一般化し、代数的トーリックスタックのC∞版を提供する。