[論文レビュー] Principal actions of stacky Lie groupoids

Henrique Bursztyn, Francesco Noseda+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 54被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、微分スタック上のスタック的リー群ガロアの主作用の特徴付けを導入し、そのような作用が主であるための必要十分条件として、作用射影写像が弱く代表可能であること（weakly representable）であることを示している。この条件により、商が微分スタックとなり、射影が主 bundle を形成することが保証され、古典的なリー群ガロア理論が高次の微分カテゴリへと拡張され、スタック的リー群ガロアのモラータ同値理論が可能になる。

ABSTRACT

Stacky Lie groupoids are generalizations of Lie groupoids in which the "space of arrows" of the groupoid is a differentiable stack. In this paper, we consider actions of stacky Lie groupoids on differentiable stacks and their associated quotients. We provide a characterization of principal actions of stacky Lie groupoids, i.e., actions whose quotients are again differentiable stacks in such a way that the projection onto the quotient is a principal bundle. As an application, we extend the notion of Morita equivalence of Lie groupoids to the realm of stacky Lie groupoids, providing examples that naturally arise from non-integrable Lie algebroids.

研究の動機と目的

• リー群ガロアからスタック的リー群ガロアへの主作用の概念を古典的枠組みから拡張すること。
• 商空間に依存しない、作用の内在的性質に基づく主作用の特徴付けを提供すること。
• （双）主（双）バンドルを用いて、スタック的リー群ガロアへのモラータ同値の一般化をすること。
• スタック的リー群ガロア作用の商が、作用射影写像が弱く代表可能である場合に限り微分スタックとなることを確立すること。
• 通常のリー群ガロアに制限した場合に、理論が古典的結果を回復することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、写像 $\mathcal{X} \times_M \mathcal{G} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}$ の弱い代表可能性を用いて、微分スタック上のスタック的リー群ガロアの主作用を定義する。
• 弱い代表可能性条件に埋め込まれた、1-自由性（1-freeness）と呼ばれる自由性に類似した条件を導入する。
• 前商のスタック化を用いて商スタック $\mathcal{X}/\mathcal{G}$ を構成し、弱い代表可能性条件のもとで微分性が保証される。
• 2-圏的道具（自然変換や整合性条件）を用いて、スタック的設定における主バンドルの構造を検証する。
• スタック的リー群ガロアのモラータ同値を定義するために、双主双バンドル（biprincipal bibundles）の概念を用いる。これは、通常のリー群ガロアの場合を一般化する。
• スタック的双主双バンドルが合成可能であることを証明し、スタック的設定においてモラータ同値が同値関係となることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタック的リー群ガロア $\mathcal{G}$ が微分スタック $\mathcal{X}$ に作用するとき、商が微分スタックであり、射影が主バンドルであるという意味で、その作用が主であるのはいつか？
• RQ2 商空間に依存しないで、古典的な主作用の特徴付け（自由かつ固有）をスタック的設定に一般化できるか？
• RQ3 主バンドル構造を用いて、通常のリー群ガロアからスタック的リー群ガロアへのモラータ同値をどのように拡張できるか？
• RQ4 作用射影写像の弱い代表可能性が、商スタックの微分性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 スタック的リー群ガロア作用の商が、どのような条件下で微分スタックの構造を引き継ぐのか？

主な発見

• スタック的リー群ガロア $\mathcal{G}$ が微分スタック $\mathcal{X}$ に作用するとき、その作用が主であるための必要十分条件は、作用射影写像 $\mathcal{X} \times_M \mathcal{G} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}$ が弱く代表可能であることである。
• 弱い代表可能性条件は、作用の1-自由性と商スタックの微分性の両方を含み、統一的な基準を提供する。
• 群ガロア $\mathcal{G}$ が通常のリー群ガロアである場合、弱い代表可能性条件は自動的に満たされるため、任意の滑らかな作用が微分スタックの意味で主となるという古典的結果が回復される。
• 商スタック $\mathcal{X}/\mathcal{G}$ は、作用射影写像が弱く代表可能である場合に限り、微分スタックの構造を引き継ぐ。
• スタック的双主双バンドルは合成可能であり、これによりスタック的リー群ガロアのモラータ同値が同値関係として定義可能になる。
• 理論により、通常のリー群ガロアからスタック的リー群ガロアへのモラータ同値の拡張がなされ、非可積分なリー代数的束の関連するスタック的群ガロアを通じて、非可積分なリー代数的束のための枠組みが提供される。