[論文レビュー] Stationary measures of three-state quantum walks on the one-dimensional lattice

Hikari Kawai, Takashi Komatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、1次元格子上の3状態離散時間量子ウォーク（フーリエウォークおよびグローバー・ウォークを含む）に対して非一様定常測度を導出するための新しい行列削減手法を提案する。2×2の縮小行列における固有値問題を解くことで、著者らは明示的な定常測度の表現を導出し、サイクル上のフーリエウォークにおける周期的定常測度が主な結果として明らかになった。

ABSTRACT

In this paper, we consider stationary measures of discrete-time three-state quantum walks including the Fourier and Grover walks in the one-dimensional lattice. We give non-uniform stationary measures by solving the corresponding eigenvalue problem. Our new method is based on a reduced matrix, which is different from the generating function approach in our previous work. As a corollary, the Fourier walk on the cycle has a stationary measure with a periodicity.

研究の動機と目的

• 1次元整数格子上における3状態量子ウォーク（フーリエウォークおよびグローバー・ウォークを含む）の定常測度を導出すること。
• 先行研究で用いられた母関数法とは異なる、新たな解析的手法を開発すること。
• 縮小行列表現の固有値解析を通じて非一様定常測度を同定すること。
• 特にサイクル上のフーリアウォークに対して、周期的定常測度の存在と構造を調査すること。
• より広範なN状態量子ウォーククラスに適用可能な定常測度計算のフレームワークを一般化すること。

提案手法

• 元の3×3コイン行列から従属成分を除去することで、縮小された2×2行列 $ A^{(Re)} $ を構築し、固有値問題を単純化する。
• 縮小行列の固有値問題を解くことで、定常状態の構造を特定する。
• 波動関数の成分を自由な数列 $ \{\varphi_x\} $ で表すことにより、定常測度を導出。時間発展と整合性があり、ユニタリティを保証する。
• 時間発展方程式 $ \Psi_{n+1}(x) = P\Psi_n(x+1) + R\Psi_n(x) + Q\Psi_n(x-1) $ から導かれる連立再帰関係を解くことに依存する。
• 定常測度の存在に必要な条件を特定し、特にタイプ2ウォークでは $ \lambda^2 = \tilde{a}_1\tilde{a}_2 $ を要請する。
• 縮小行列形式により、$ \varphi_x $ を用いた定常測度の明示的構成が可能となり、コイン行列パラメータに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 母関数に依存しない、3状態量子ウォークの定常測度を体系的に計算するための新しい手法を開発可能か？
• RQ2 コイン行列にどのような条件が成立すると、非一様定常測度が存在するか？
• RQ3 サイクル上のフーリエウォークは周期的構造を持つ定常測度を有するか？その特徴は何か？
• RQ4 グローバー行列やフーリエ行列などの異なるコイン行列は、定常測度の形と性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 縮小行列アプローチはN状態量子ウォークに一般化可能か？

主な発見

• 2×2の縮小行列に基づく新しい手法により、$ \mathbb{Z} $ 上の3状態量子ウォークに対して非一様定常測度を導出可能であり、従来の母関数法とは異なる。
• グローバー・ウォークでは、定常測度が $ \mu(x) = \frac{5}{4}(|\varphi_x|^2 + |\varphi_{x-1}|^2) + \frac{1}{2}\mathfrak{Re}(\varphi_x\overline{\varphi_{x-1}}) $ として明示的に与えられ、位相パラメータに依存しない。
• フーリエ・ウォークは条件 $ \lambda^2 = \tilde{a}_1\tilde{a}_2 $ を満たさないため、定理5.1は適用不可であり、この手法では定常測度を導出できない。
• サイクル上のフーリエ・ウォークに対して、周期的定常測度が存在し、これは無限格子上でも定常である。
• パラメータ化されたウォーク $ A_1(\eta) $ の場合、定常測度は $ \eta \in [0, 2\pi) $ に依存しないが、$ A_2(\rho) $ の場合は $ \rho \in (0,1) $ に依存するため、パラメータ感度が顕在化する。
• グローバー・ウォークおよび $ A_1(\eta) $ の両方で、$ A^{(Re)} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $ が現れ、定常測度の形に構造的普遍性が示唆される。