[論文レビュー] Statistical Measures of Complexity: Why?

David P. Feldman, James P. Crutchfield|ArXiv.org|Aug 22, 1997

Complex Systems and Decision MakingDecision Sciences参考文献 4被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、LMC統計的複雑性測度 $C_{\rm LMC}$ を厳密に評価し、それが拡張性を満たさず、拡張性を満たすように修正した場合に自明なものになると示している。また、有用な複雑性測度は、秩序的・無秩序的極限で消えるだけでなく、それが測定する構造的特徴の明確な物理的解釈を持つべきだと主張している。

ABSTRACT

We review several statistical complexity measures proposed over the last decade and a half as general indicators of structure or correlation. Recently, Lopez-Ruiz, Mancini, and Calbet [Phys. Lett. A 209 (1995) 321] introduced another measure of statistical complexity C_{LMC} that, like others, satisfies the ``boundary conditions'' of vanishing in the extreme ordered and disordered limits. We examine some properties of C_{LMC} and find that it is neither an intensive nor an extensive thermodynamic variable and that it vanishes exponentially in the thermodynamic limit for all one-dimensional finite-range spin systems. We propose a simple alteration of C_{LMC} that renders it extensive. However, this remedy results in a quantity that is a trivial function of the entropy density and hence of no use as a measure of structure or memory. We conclude by suggesting that a useful ``statistical complexity'' must not only obey the ordered-random boundary conditions of vanishing, it must also be defined in a setting that gives a clear interpretation to what structures are quantified.

研究の動機と目的

• LMC統計的複雑性測度 $C_{\rm LMC}$ が構造的複雑性の一般指標として有効であるかを評価すること。
• LMCが熱力学的極限におけるスケーリング性、特に拡張性を満たすかを調査すること。
• $C_{\rm LMC}$ に拡張性を回復させる修正を加えた場合、それが構造的相関に感度を持つ意味のある測度であるか、それともエントロピーに依存する自明な関数に還元されるかを特定すること。
• 境界条件（秩序的・無秩序的極限で消える）だけでは、有用な統計的複雑性測度を定義するには不十分であると主張すること。
• 複雑性測度が測定する構造的特徴の明確な物理的または情報的解釈が、なぜ必要かを強調すること。

提案手法

• LMC複雑性測度 $C_{\rm LMC}[Y] = H[Y] \cdot D[Y]$ を分析し、ここで $H[Y]$ はシャノンエントロピー、$D[Y]$ は不均衡度である。
• 熱力学的極限における1次元有限範囲スピン系における $C_{\rm LMC}$ の振る舞いを検討する。
• 不均衡度項のスケーリングを変更することで、$C_{\rm LMC}$ の拡張性を達成する修正版を提案する。
• 修正された測度がエントロピー密度に依存する自明な関数に還元されることを示す。
• 解析的および熱力学的議論を用いて、このような系において $C_{\rm LMC}$ が熱力学的極限で指数関数的に消えることを示す。
• 解釈の明確さを強調するために、エクセスエントロピー や論理的深さなどの他の複雑性測度と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元スピン系において、LMC複雑性測度 $C_{\rm LMC}$ は熱力学的極限で拡張的スケーリングを示すか？
• RQ2 $C_{\rm LMC}$ の修正版を構造的相関に感度を保ちつつ拡張性を満たすようにできるか？
• RQ3 秩序的・無秩序的極限で複雑性が消えるという条件が、有用な統計的複雑性測度を定義するのに不十分なのはなぜか？
• RQ4 物理的に意味があり、解釈可能な統計的複雑性測度を定義するための必要条件は何か？
• RQ5 エクセスエントロピー や論理的深さなどの異なる複雑性測度は、解釈可能性と有用性の観点でどのように比較できるか？

主な発見

• 1次元有限範囲スピン系において、LMC複雑性測度 $C_{\rm LMC}$ は熱力学的極限で指数関数的に消える。
• LMC測度は強度的でも拡張的でもなく、熱的に意味のある複雑性測度の基本的要件を満たさない。
• 拡張性を回復させるために提案された修正は、エントロピー密度に依存する自明な関数に還元される。
• 修正された測度は構造的相関への感度を失い、パターンや記憶の指標としての役割を果たせない。
• 秩序的・無秩序的極限で消えるという境界条件は、有用な複雑性測度のためには必要であるが十分ではない。
• 意味のある統計的複雑性測度は、それが測定する構造的特徴の明確な物理的または情報的解釈を持つべきである。