[論文レビュー] Steady state large deviations for one-dimensional, symmetric exclusion processes in weak contact with reservoirs

Angèle Bouley, Clément Erignoux+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、弱い境界リザボアを持つ1次元対称排除過程における定常状態の大きな偏差の最適軌道を記述する偏微分方程式を導出する。行列積アンザッツ（Derridaら）によって得られた準位能と、動的大きな偏差汎関数に基づく変分的定式化との等価性を確立し、ロビン境界条件を伴う非平衡定常状態における準位能の厳密なPDEに基づく特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Consider the symmetric exclusion process evolving on an interval and weakly interacting at the end-points with reservoirs. Denote by $I_{[0,T]} (\cdot)$ its dynamical large deviations functional and by $V(\cdot)$ the associated quasi-potential, defined as $V(γ) = \inf_{T>0} \inf_u I_{[0,T]} (u)$, where the infimum is carried over all trajectories $u$ such that $u(0) = \barρ$, $u(T) = γ$, and $\barρ$ is the stationary density profile. We derive the partial differential equation which describes the evolution of the optimal trajectory, and deduce from this result the formula obtained by Derrida, Hirschberg and Sadhu \cite{DHS2021} for the quasi-potential through the representation of the steady state as a product of matrices.

研究の動機と目的

• 弱い結合リザボアを有する1次元対称排除過程における非平衡定常状態の準位能を特徴づけること。
• 定常密度分布から与えられた密度分布への大きな偏差率汎関数を最小化する最適パスを記述する偏微分方程式を導出すること。
• 動的大きな偏差に基づく変分的定式化と、定常状態の行列積状態表現（Derrida, Hirschberg, Sadhu）を厳密に結びつけること。
• 弱いリザボア結合下におけるロビン境界条件を伴う流体力学方程式の弱解の存在、一意性、正則性を確立すること。

提案手法

• 境界寄与項を含むハミルトニアン形式を用いて、滑らかな試験関数に関する時間積分上界として、動的大きな偏差汎関数 $ I_{[0,T]}(u) $ を定式化する。
• 移動度 $ \sigma(\gamma) = \gamma(1-\gamma) $ と境界汎関数 $ \mathfrak{b}_{\varrho,D} $ を含むハミルトニアン $ \mathscr{H}(\gamma, F) $ を導出する。
• 率汎関数の変分原理から導かれるハミルトン・ジャコビ・ベルマンPDEの解として、最適軌道 $ u(t,x) $ を特定する。
• ガレルキン近似とエネルギー推定を用いて、ロビン境界条件を伴う流体力学方程式（1.1）の弱解の存在と一意性を確立する。
• スペクトル理論と半群法を用いて、発展作用素 $ P_t^{(R)} $ を分析し、$ L^\infty $ および $ C^2 $ 範囲における収縮性と収束性を証明する。
• 最適パスが導出されたPDEおよび境界条件を満たすことを示すことにより、行列積アンザッツの結果と変分的準位能との等価性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱いリザボアを有する対称排除過程の定常状態における準位能は、動的大きな偏差汎関数とどのように関係しているか？
• RQ2 弱いリザボア結合下で、定常密度分布から与えられた揺らぎ分布への最適軌道を記述するPDEは何か？
• RQ3 定常状態の行列積状態表現は、大きな偏差率汎関数の変分的定式化から厳密に導出可能か？
• RQ4 弱いリザボアを有する排除過程の流体力学的極限において、ロビン境界条件はどのように出現し、準位能において果たす役割は何か？
• RQ5 弱い境界結合を伴う流体力学方程式の解は、どのような正則性および収束性を有するか？

主な発見

• 定常分布からの大きな偏差に対する最適軌道は、率汎関数の変分原理から導かれるハミルトン・ジャコビ・ベルマンPDEを満たす。
• 準位能 $ V(\gamma) $ は、定常分布 $ \bar{\rho} $ から $ \gamma $ へのすべての経路における動的率汎関数の下界であり、この下界は導出されたPDEの解によって達成される。
• 定常密度分布 $ \bar{\rho}(x) $ は、$ x=-A $ および $ x=1+B $ における有効リザボア密度を用いた線形補間として明示的に計算され、$ \bar{\rho}(x) = \frac{\alpha(1+B) + \beta A}{1+A+B} + \frac{(\beta - \alpha)x}{1+A+B} $ である。
• ロビン境界条件を伴う流体力学方程式の解は、$ t > 0 $ に対して存在し、一意的であり、$ C^2([0,1]) $ に属し、近似列は一様収束する。
• 発展作用素 $ P_t^{(R)} $ は $ L^\infty([0,1]) $ で収縮的であり、初期分布の摂動に対する解の安定性と収束性を保証する。
• 行列積アンザッツによる準位能の結果は、変分問題の解として厳密に回復され、確率的・流体力学的定式化の間の等価性が確認された。