[論文レビュー] Stochastic invariance of closed sets with non-Lipschitz coefficients

Eduardo Abi Jaber, Bruno Bouchard+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非リプシッツ性を持つ拡散係数をもつ拡散過程における閉集合の確率的不変性の新しい特徴付けを確立する。古典的なストラトノビッチのドリフト条件を、共分散行列 $ C = \sigma\sigma^\top $ のヤコビアンを用いて再定式化することにより、$ \sigma $ が非微分可能であっても不変性基準を拡張できる。これにより、境界特異性（例：ルート平方過程）を有する任意の閉集合上でのアフィンおよび多項式拡散過程の構築が可能になる。

ABSTRACT

This paper provides a new characterization of the stochastic invariance of a closed subset of R^d with respect to a diffusion. We extend the well-known inward pointing Stratonovich drift condition to the case where the diffusion matrix can fail to be differentiable: we only assume that the covariance matrix is. In particular, our result can be directly applied to construct affine diffusions and polynomial preserving diffusions on any arbitrary closed set.

研究の動機と目的

• 拡散係数 $ \sigma $ が非微分可能である場合に対しても、古典的なストラトノビッチのドリフト条件による確率的不変性を拡張すること。
• 従来の研究で用いられる複雑な二階法線錐を避ける実用的な確率的不変性の特徴付けを提供すること。
• 境界が滑らかでない閉集合を含む任意の閉集合上でのアフィンおよび多項式拡散過程の構築を可能にすること。
• $ \sigma $ の代わりに $ C = \sigma\sigma^\top $ の微分可能性に注目することで、既存の不変性基準を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 共分散行列 $ C = \sigma\sigma^\top $ のヤコビアンを用いてストラトノビッチのドリフト条件を再定式化し、$ \sigma $ が微分可能でない場合でも $ C $ が微分可能である可能性を活用する。
• 幾何的解析に第一階法線錐 $ \mathcal{N}^1_{\mathcal{D}}(x) $ を用いることで、二階錐よりも計算が容易になる。
• 確率的不変性の必要十分条件を、$ \langle u, b(x) - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^d D\Phi^j(x) \rangle \leq 0 $ の形で確立する。ここで $ \Phi^j $ は行列 $ C $ の列である。
• ムーア・ペンローズの擬似逆行列およびクロネッカー積の恒等式を用いて、行列微分を扱い、ヤコビアン計算をベクトル化する。
• $ b $ と $ \sigma $ に対して線形成長および連続性の仮定を置き、$ C \in C^2 $ を領域の内部で満たす場合に、条件が有効であることを証明する。
• 局所化およびパスワイズ一意性の議論を用いて、境界がほとんど確実に到達されない場合に強い解の存在と一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散係数 $ \sigma $ が非微分可能である場合に対しても、古典的なストラトノビッチのドリフト条件による確率的不変性を拡張することは可能か？
• RQ2 拡散係数 $ \sigma $ の代わりに共分散行列 $ C = \sigma\sigma^\top $ のヤコビアンを用いて、確率的不変性を特徴付けられるか？
• RQ3 境界が滑らかでない閉集合を含む任意の閉集合上でのアフィンおよび多項式拡散過程をどのように構築できるか？
• RQ4 $ \sigma $ がリプシッツでない場合に、拡散過程がほとんど確実に閉集合 $ \mathcal{D} \subset \mathbb{R}^d $ 内にとどまるための条件は何か？

主な発見

• この論文は、$ \sigma $ が微分可能でなくてもよいという条件下で、閉集合 $ \mathcal{D} \subset \mathbb{R}^d $ の確率的不変性の必要十分条件を、共分散行列 $ C = \sigma\sigma^\top $ のヤコビアンに基づいて確立する。
• 条件は、すべての $ x \in \mathcal{D} $ および $ u \in \mathcal{N}^1_{\mathcal{D}}(x) $ に対して $ \langle u, b(x) - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^d D\Phi^j(x) \rangle \leq 0 $ を満たす形に簡略化され、非リプシッツ性を持つ $ \sigma $ に対しても適用可能になる。
• この結果により、境界特異性を持つ任意の閉集合（例：$ \mathbb{R}_+ $ 上のルート平方過程）上でのアフィンおよび多項式拡散過程の構築が可能になる。
• 区間 $ (0,1] $ 上のヤコビ拡散に対しては、条件から $ dX_t = \kappa(\theta - X_t)dt + \eta\sqrt{X_t(1-X_t)}dW_t $ の動的構造が得られ、$ \kappa\theta \geq \frac{\eta^2}{2} $ が確率的不変性を保証する。
• 計算が困難な二階法線錐を避ける一方で、第一階法線錐の計算の簡便さを維持する。
• $ C $ に対してやや強い正則性と $ b $ の局所リプシッツ性を仮定すると、境界がほとんど確実に到達されない場合に、強い解の存在とパスワイズ一意性が保証される。